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2023届金学导航·模拟版(四)4数学试卷答案

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14．计算：
（1）$\frac{5}{6}{a}^{\frac{1}{3}{b}^{-2}}$×（-3a${\;}^{-\frac{1}{2}}$b^-1）÷（4a${\;}^{\frac{2}{3}}$b^-3）${\;}^{\frac{1}{2}}$；
（2）log₃$\sqrt{27}$+lg4+lg25+6${\;}^{lo{g}_{4}}$²+（-2）⁰．

分析（I）e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{c}{a}$，设a=3m，则c=$\sqrt{3}$m，b²=a²-c²=6m²．可得椭圆的标准方程为：2x²+3y²=18m²．设直线l的方程为：ty-$\sqrt{3}$m=x，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．与椭圆方程联立化为（2t²+3）y²-4$\sqrt{3}$tmy-12m²=0，由$2\overrightarrow{MF}=5\overrightarrow{FN}$，可得-2y₁=5y₂，与根与系数的关系联立即可解出．
（II）直线AB的方程为：ty=x，与椭圆方程联立解得y²，x²，可得|AB|²=4（x²+y²）．利用弦长公式可得|MN|=$\sqrt{（1+{t}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$，即可证明．

解答（I）解：∵e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{c}{a}$，设a=3m，则c=$\sqrt{3}$m，b²=a²-c²=6m²．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{9{m}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{6{m}^{2}}$=1，即2x²+3y²=18m²．
设直线l的方程为：ty-$\sqrt{3}$m=x，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{ty-\sqrt{3}m=x}\\{2{x}^{2}+3{y}^{2}=18{m}^{2}}\end{array}\right.$，化为（2t²+3）y²-4$\sqrt{3}$tmy-12m²=0，
∴y₁+y₂=$\frac{4\sqrt{3}tm}{2{t}^{2}+3}$，y₁y₂=$\frac{-12{m}^{2}}{2{t}^{2}+3}$，
∵$2\overrightarrow{MF}=5\overrightarrow{FN}$，
∴-2y₁=5y₂，
解得y₂=$\frac{-8\sqrt{3}tm}{3（2{t}^{2}+3）}$，y₁=$\frac{20\sqrt{3}tm}{3（2{t}^{2}+3）}$，
∴$\frac{-160×3{t}^{2}{m}^{2}}{9（2{t}^{2}+3）^{2}}$=$\frac{-12{m}^{2}}{2{t}^{2}+3}$，
化为：t²=$\frac{27}{22}$，解得t=±$\frac{3\sqrt{66}}{22}$．
（II）证明：直线AB的方程为：ty=x，
联立$\left\{\begin{array}{l}{ty=x}\\{2{x}^{2}+3{y}^{2}=18{m}^{2}}\end{array}\right.$，解得y²=$\frac{18{m}^{2}}{2{t}^{2}+3}$，x²=$\frac{18{t}^{2}{m}^{2}}{2{t}^{2}+3}$，
∴|AB|²=4（x²+y²）=$\frac{72{m}^{2}（1+{t}^{2}）}{2{t}^{2}+3}$．
|MN|=$\sqrt{（1+{t}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=$\sqrt{（1+{t}^{2}）[\frac{48{t}^{2}{m}^{2}}{（2{t}^{2}+3）^{2}}-\frac{-48{m}^{2}}{2{t}^{2}+3}]}$=$\frac{12m（1+{t}^{2}）}{2{t}^{2}+3}$，
∴|MN|•2a=$\frac{12m（1+{t}^{2}）}{2{t}^{2}+3}$×2×3m=$\frac{72{m}^{2}（1+{t}^{2}）}{2{t}^{2}+3}$，
∴|MN|•2a=|AB|²．
∴|AB|是|MN|和椭圆长轴2a的等比中项．

点评本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、向量共线定理坐标运算、等比中弦，考查了推理能力与计算能力，属于难题．