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全国百校联盟2023年高考模拟信息卷(四)4数学试卷答案

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5．已知椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），其离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，椭圆的长轴端点分别为A₁，A₂，P为椭圆上任意一点，且△PA₁A₂面积的最大值为$\sqrt{2}$，则椭圆C的方程为（　　）

分析（1）先分别求出A点、B点的直角坐标，由此能求出|AB|的长．
（2）设C的直角坐标为C（a，b），由直线垂直的性质和两点点距离公式列出方程组求出B点直角坐标，由此能求出C点的极坐标．

解答解：（1）∵在极坐标系内，A（2，$\frac{π}{4}$），
∴x=2cos$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$，y=2sin$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$，
∴A点直角坐标为A（$\sqrt{2}，\sqrt{2}$），
∵在极坐标系内，B（2，$\frac{5π}{4}$），
∴$x=2cos\frac{5π}{4}$=-$\sqrt{2}$，y=2sin$\frac{5π}{4}$=-$\sqrt{2}$，
∴B点直角坐标B（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），
∴|AB|=$\sqrt{（\sqrt{2}+\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}+\sqrt{2}）^{2}}$=4．
（2）∵A（$\sqrt{2}，\sqrt{2}$），B（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），
∴k_AB=1，∵A，B是等边三角形的两个顶点，
∴k_OC=-1，
设C的直角坐标为C（a，b），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b}{a}=-1}\\{（a-\sqrt{2}）^{2}+（b-\sqrt{2}）^{2}=（2\sqrt{2}）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{6}}\\{b=-\sqrt{6}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-\sqrt{6}}\\{b=\sqrt{6}}\end{array}\right.$，
当$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{6}}\\{b=-\sqrt{6}}\end{array}\right.$时，$ρ=\sqrt{6+6}=2\sqrt{3}$，θ=$\frac{7π}{4}$，C点极坐标为：（2$\sqrt{3}$，$\frac{7π}{4}$）
当$\left\{\begin{array}{l}{a=-\sqrt{6}}\\{b=\sqrt{6}}\end{array}\right.$时，$ρ=\sqrt{6+6}=2\sqrt{3}$，$θ=\frac{3π}{4}$，C点的极坐标为：（2$\sqrt{3}$，$\frac{3π}{4}$）．
∴C点的极坐标为：（2$\sqrt{3}$，$\frac{3π}{4}$），（2$\sqrt{3}$，$\frac{7π}{4}$）．

点评本题考查线段长的求法，考查点的极坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标和直角坐标的互化及直线垂直的性质和两点点距离公式的合理运用．