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衡水名师卷2023高考理科综合能力调研卷数学试卷答案

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6．设a，b，c均为正数，且2^a=log${\;}_{\frac{1}{2}}$a，（$\frac{1}{2}$）^b=log${\;}_{\frac{1}{2}}$b，（$\frac{1}{2}$）^c=log₂c，则（　　）

分析（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）+2，由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z即可解得函数f（x）的单调递减区间．
（Ⅱ）由B为锐角，可得：2B-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），由已知正弦函数的图象和性质可解得B=$\frac{π}{3}$，由余弦定理及基本不等式的应用可得ac≤8，利用三角形面积公式即可得解．

解答解：（Ⅰ）∵f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+4sin²x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}$cos2x+2-2cos2x
=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）+2．
∴令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z即可解得函数f（x）的单调递减区间为：[kπ+$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{11π}{12}$]，k∈Z；
（Ⅱ）∵B为锐角，可得：2B-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），
且f（B）=$\sqrt{3}$sin（2B-$\frac{π}{3}$）+2=$\frac{7}{2}$，解得：sin（2B-$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得：2B-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$，解得：B=$\frac{π}{3}$．
∴在△ABD中，由余弦定理：AD²=AB²+BD²-2•AB•BD•cosB，可得：4=c²+（$\frac{1}{2}a$）²-2×c×$\frac{1}{2}a$×$\frac{1}{2}$，整理可得：16=4c²+a²-2ac≥4ac-2ac=2ac，解得：ac≤8，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB≤$\frac{1}{2}×8×\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$．故△ABC面积的最大值为2$\sqrt{3}$．

点评本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，三角形面积公式，余弦定理及基本不等式的应用，考查了计算能力，属于中档题．