衡水名师卷2023高考理科综合能力调研卷数学试题答案 (更新中)

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试题答案

衡水名师卷2023高考理科综合能力调研卷数学试卷答案

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6.设a,b,c均为正数,且2a=log${\;}_{\frac{1}{2}}$a,($\frac{1}{2}$)b=log${\;}_{\frac{1}{2}}$b,($\frac{1}{2}$)c=log2c,则(  )

A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.b<a<c

分析(Ⅰ)利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f(x)=$\sqrt{3}$sin(2x-$\frac{π}{3}$)+2,由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$,k∈Z即可解得函数f(x)的单调递减区间.
(Ⅱ)由B为锐角,可得:2B-$\frac{π}{3}$∈(-$\frac{π}{3}$,$\frac{2π}{3}$),由已知正弦函数的图象和性质可解得B=$\frac{π}{3}$,由余弦定理及基本不等式的应用可得ac≤8,利用三角形面积公式即可得解.

解答解:(Ⅰ)∵f(x)=sin(2x+$\frac{π}{6}$)+4sin2x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}$cos2x+2-2cos2x
=$\sqrt{3}$sin(2x-$\frac{π}{3}$)+2.
∴令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$,k∈Z即可解得函数f(x)的单调递减区间为:[kπ+$\frac{5π}{12}$,kπ+$\frac{11π}{12}$],k∈Z;
(Ⅱ)∵B为锐角,可得:2B-$\frac{π}{3}$∈(-$\frac{π}{3}$,$\frac{2π}{3}$),
且f(B)=$\sqrt{3}$sin(2B-$\frac{π}{3}$)+2=$\frac{7}{2}$,解得:sin(2B-$\frac{π}{3}$)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,可得:2B-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$,解得:B=$\frac{π}{3}$.
∴在△ABD中,由余弦定理:AD2=AB2+BD2-2•AB•BD•cosB,可得:4=c2+($\frac{1}{2}a$)2-2×c×$\frac{1}{2}a$×$\frac{1}{2}$,整理可得:16=4c2+a2-2ac≥4ac-2ac=2ac,解得:ac≤8,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB≤$\frac{1}{2}×8×\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$.故△ABC面积的最大值为2$\sqrt{3}$.

点评本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,正弦函数的图象和性质,三角形面积公式,余弦定理及基本不等式的应用,考查了计算能力,属于中档题.

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