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2023年全国高考·模拟调研卷(六)数学试卷答案
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5．在△ABC中，$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AB}$，EF∥BC，EF交AC于F，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{BF}$可以用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示的形式是$\overrightarrow{BF}$=$-\overrightarrow{a}$$+\frac{1}{5}$$\overrightarrow{b}$．
分析（1）利用向量共线，求出函数的解析式，然后利用函数的导数求解单调区间．
（2）由（1）可知，a＞0时，f（x）在区间（-∞，+∞）上是减函数，利用反证法说明A、B、C三点不共线，说明B是钝角，假设三角形是等腰三角形，推出${e}^{{x}_{1}}={e}^{{x}_{3}}$，与x1＜x3矛盾，说明△ABC不可能为等腰三角形．
解答解：（1）向量$\overrightarrow{m}$=（a，x+f（x）），$\overrightarrow{n}$=（1，ln（1+ex）-x），（a∈R），$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．
可得x+f（x）=aln（1+ex）-ax，
即f（x）=aln（1+ex）-ax-x，
当a=0时，f（x）=-x，函数是减函数，函数的单调减区间为R．
f′（x）=$\frac{{ae}^{x}}{1+{e}^{x}}$-a-1=$\frac{-a}{1+{e}^{x}}$-1．
∵1+ex＞2，
∴当a＞-2时，f′（x）＜0，函数是减函数，单调减区间是R．
当a＜-2时，$\frac{-a}{1+{e}^{x}}$-1=0，可得-a=1+ex，解得x=ln（-1-a）．
当x＞ln（-1-a）时，f′（x）＞0，函数是增函数，单调增区间是（ln（-1-a），+∞），
当x＜ln（-1-a）时，f′（x）＜0，函数是减函数，单调减区间是（-∞，ln（-1-a））；
（2）由（1）可知，a＞0时，f（x）在区间（-∞，+∞）上是减函数，
∵A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），∴不妨设x1＜x2＜x3，可得f（x1）＞f（x2）＞f（x3），${x}_{2}=\frac{{x}_{1}+{x}_{3}}{2}$，
下面利用反证法说明A、B、C三点不共线，若三点共线，则有：f（x2）=$\frac{1}{2}$（f（x1）+f（x3）），所以$2{e}^{{x}_{2}}={e}^{{x}_{1}}+{e}^{{x}_{3}}≥2\sqrt{{e}^{{x}_{1}}•{e}^{{x}_{3}}}$，得x1=x3与x1＜x2＜x3，矛盾，
接下来说明B是钝角：$\overrightarrow{BA}$=（x1-x2，f（x1）-f（x2）），$\overrightarrow{BC}$=（x3-x2，f（x3）-f（x2）），∴$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=（x1-x2）（x3-x2）+（f（x1）-f（x2））（f（x3）-f（x2））∵x1-x2＜0，x3-x2＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，f（x3）-f（x2）＜0，∴$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}＜0$．可得B∈$（\frac{π}{2}，π）$
，即△ABC中B为钝角；
假设三角形是等腰三角形，只能是$\left|\overrightarrow{BA}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|$，即$（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+[f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）]^{2}$=$（{x}_{3}-{x}_{2}）^{2}+[f（{x}_{3}）-f（{x}_{2}）]^{2}$，
∵x3-x2=x2-x1，∴${[f（{x}_{3}）-f（{x}_{2}）]}^{2}={[f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）]}^{2}$，结合f（x1）＞f（x2）＞f（x3），化简可得；2f（x2）=f（x1）+f（x3），也就是：2aln（1+${e}^{{x}_{2}}$）-2（a+1）x2=aln（1+${e}^{{x}_{1}}$）（1+${e}^{{x}_{3}}$）-（a+1）（x1+x3），将${x}_{2}=\frac{{x}_{1}+{x}_{3}}{2}$代入可得，2aln（1+${e}^{{x}_{2}}$）-2（a+1）x2=aln（1+${e}^{{x}_{1}}$）（1+${e}^{{x}_{3}}$）-2（a+1）x2，
∴2ln（1+${e}^{{x}_{2}}$）=ln（1+${e}^{{x}_{1}}$）（1+${e}^{{x}_{3}}$）
可得（1+${e}^{{x}_{2}}$）2=（1+${e}^{{x}_{1}}$）（1+${e}^{{x}_{3}}$），化简可得：${e}^{2{x}_{2}}+2{e}^{{x}_{2}}={e}^{{x}_{1}+{x}_{3}}+{e}^{{x}_{1}}+{e}^{{x}_{3}}$即${e}^{2{x}_{2}}={e}^{{x}_{1}}+{e}^{{x}_{3}}①$而事实上，若①成立，根据${e}^{{x}_{1}}+{e}^{{x}_{3}}≥2\sqrt{{e}^{{x}_{1}}•{e}^{{x}_{3}}}$=$2{e}^{{x}_{2}}$，必然得到${e}^{{x}_{1}}={e}^{{x}_{3}}$，与x1＜x3矛盾，所以△ABC不可能为等腰三角形．
点评本题考查函数的单调性的应用，反证法的应用，考查转化思想以及计算能力，分类讨论思想的应用．
