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2023届衡水金卷先享题调研卷 湖南专版 三数学试卷答案

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13．已知等比数列{a_n}的公比大于零，a₁+a₂=3，a₃=4，数列{b_n}是等差数列，${b_n}=\frac{{n（{n+1}）}}{n+c}$，c≠0是常数．
（1）求的值，数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}满足：当n为偶数时c_n=a_n，当n为奇数时c_n=b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

分析通过几何法得到|F₁C|=|CO|=$\frac{c}{2}$，由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-{c}^{2}}=1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$，可得到A点坐标，从而求出OA的斜率，由直线AB斜率为0＜k＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求出e的取值范围．

解答解：记线段MN与x轴交点为C．
∵AF的中点为M，BF的中点为N，
∴MN∥AB，|FC|=|CO|=$\frac{c}{2}$，
∵A、B为椭圆上关于原点对称的两点，
∴|CM|=|CN|．
∵原点O在以线段MN为直径的圆上，
∴|CO|=|CM|=|CN|=$\frac{c}{2}$．
∴|OA|=|OB|=c．
∵|OA|＞b，
∴a²=b²+c²＜2c²，
∴e=$\frac{c}{a}$＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
设A（x，y），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-{c}^{2}}=1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$，
得x²=$\frac{{a}^{2}（2{c}^{2}-{a}^{2}）}{{c}^{2}}$，y²=$\frac{{c}^{4}-2{a}^{2}{c}^{2}+{a}^{4}}{{c}^{2}}$．
∵直线AB斜率为0＜k＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴0＜$\frac{{c}^{4}-2{a}^{2}{c}^{2}+{a}^{4}}{{a}^{2}（2{c}^{2}-{a}^{2}）}$＜$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{2}{3}$＜e²＜2，
由于0＜e＜1，
∴离心率e的取值范围为（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，1）．
故选：B．

点评本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，同时考查圆的性质和直线斜率公式的运用，考查运算能力，属于中档题．