百师联盟 2023届高三一轮复习联考(五)河北卷数学试题答案 (更新中)

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试题答案

百师联盟 2023届高三一轮复习联考(五)河北卷数学试卷答案

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2.设$\overrightarrow{e}$是非零向量,若$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=2$\overrightarrow{e}$,2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=-3$\overrightarrow{e}$,向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$是否平行?

分析(Ⅰ)对f(x)进行求导,讨论a=1,a>1.0<a<1,利用导数为负,求函数的减区间;
(Ⅱ)要求存在区间,使f(x)在[m,n]上的值域是[k(m+2)-2,k(n+2)-2],将其转化为g(x)=k(x+2)-2在[$\frac{1}{2}$,+∞)上至少有两个不同的正根,再利用导数求出k的取值范围.

解答解:(Ⅰ)当a>0时,函数f(x)=-$\frac{1}{2}$ax2+(1+a)x-lnx的导数为
f′(x)=-ax+1+a-$\frac{1}{x}$=-$\frac{(x-1)(ax-1)}{x}$,(x>0),
当a=1时,f′(x)≤0,f(x)递减;
当a>1时,1>$\frac{1}{a}$,f′(x)<0,可得x>1或0<x<$\frac{1}{a}$;
当0<a<1时,1<$\frac{1}{a}$,f′(x)<0,可得0<x<1或x>$\frac{1}{a}$.
综上可得,a=1时,f(x)的减区间为(0,+∞);
a>1时,f(x)的减区间为(1,+∞),(0,$\frac{1}{a}$);
0<a<1时,f(x)的减区间为($\frac{1}{a}$,+∞),(0,1);
(Ⅱ)当a=0时,设函数g(x)=xf(x)=x2-xlnx,
令g′(x)=2x-lnx-1(x>0),
则g′(x)=2-$\frac{1}{x}$=$\frac{2x-1}{x}$,(x>0),
当x≥$\frac{1}{2}$时,g′′(x)≥0,g(x)为增函数;
g(x)在区间[m,n]⊆[$\frac{1}{2}$,+∞)递增,
∵g(x)在[m,n]上的值域是[k(m+2)-2,k(n+2)-2],
所以g(m)=k(m+2)-2,g(n)=k(n+2)-2,$\frac{1}{2}$≤m<n,
则g(x)=k(x+2)-2在[$\frac{1}{2}$,+∞)上至少有两个不同的正根,
k=$\frac{g(x)+2}{x+2}$,令F(x)=$\frac{g(x)+2}{x+2}$=$\frac{{x}^{2}-xlnx+2}{x+2}$,
求导得,F′(x)=$\frac{{x}^{2}+3x-2lnx-4}{(x+2)^{2}}$(x≥$\frac{1}{2}$),
令G(x)=x2+3x-2lnx-4(x≥$\frac{1}{2}$)
则G′(x)=2x+3-$\frac{2}{x}$=$\frac{(2x-1)(x+2)}{x}$,
所以G(x)在[$\frac{1}{2}$,+∞)递增,G($\frac{1}{2}$)<0,G(1)=0,
当x∈[$\frac{1}{2}$,1]时,G(x)<0,∴F′(x)<0,
当x∈[1,+∞]时,G(x)>0,∴F′(x)>0,
所以F(x)在[$\frac{1}{2}$,1)上递减,在(1,+∞)上递增,
∴F(1)<k≤F($\frac{1}{2}$),
∴k∈(1,$\frac{9+2ln2}{10}$].

点评本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系,即当导函数大于0时原函数单调递增,当导函数小于0时原函数单调递减,利用了分类讨论和转化的思想,此题是一道中档题.

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