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2022-2023学年辽宁省朝阳市普通高中高一年级考试卷(23-220A)数学试卷答案

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2．已知a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{n（n+1）}，1≤n≤3}\\{\frac{1}{{2}^{n-1}}，n≥4}\end{array}\right.$．S_n为前n项的和，求（1）$\underset{lim}{n→∞}{a}_{n}$；（2）$\underset{lim}{n→∞}{S}_{n}$．

分析（1）记“恰有2人申请A大学或B大学”为事件M，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生中k次的概率计算公式能求出恰有2人申请A大学或B大学的概率．
（2）由题意X的所有可能取值为0，1，2，3，4，且X～B（4，$\frac{1}{3}$），由此能求出X的分布列和E（X）．

解答解：（1）记“恰有2人申请A大学或B大学”为事件M，
则P（M）=${C}_{4}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{8}{27}$，
∴恰有2人申请A大学或B大学的概率为$\frac{8}{27}$．
（2）由题意X的所有可能取值为0，1，2，3，4，且X～B（4，$\frac{1}{3}$），
P（X=0）=${C}_{4}^{0}（\frac{2}{3}）^{4}$=$\frac{16}{81}$，
P（X=1）=${C}_{4}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{32}{81}$，
P（X=2）=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{24}{81}$，
P（X=3）=${C}_{4}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}（\frac{2}{3}）$=$\frac{8}{81}$，
P（X=4）=${C}_{4}^{4}（\frac{1}{3}）^{4}$=$\frac{1}{81}$，
∴X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P $\frac{16}{81}$ $\frac{32}{81}$ $\frac{24}{81}$ $\frac{8}{81}$ $\frac{1}{81}$E（X）=4×$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}$．

点评本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．