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2023年全国高考·模拟调研卷XXY(三)3数学试卷答案

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13．下面不等式不成立的是（　　）

分析（Ⅰ）f（x）=kx+k，求出k=$\frac{lnx+2}{x+1}$，只需求出右式的范围即可，利用导函数判断函数的单调性，通过单调性求右式的范围；
（Ⅱ）h（x）=f（x）-x-1=lnx-x+1，结合题的特点，先判断lnx＜x-1，令x=$\frac{1}{n}$，可得ln$\frac{1}{n}$＜$\frac{1}{n}$-1，利用累加法和对数函数的性质得出结论．

解答解：（Ⅰ）f（x）=kx+k（k＞0），
∴lnx-k（x+1）+2=0在[1，e]上是有实根，
∴k=$\frac{lnx+2}{x+1}$，
令g（x）=$\frac{lnx+2}{x+1}$，g'（x）=$\frac{\frac{1}{x}-lnx-1}{（x+1）^{2}}$，
令m（x）=$\frac{1}{x}$-lnx-1，m'（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$在[1，e]上，m'（x）＜0，
∴m（x）在[1，e]上递减，m（x）≤m（1）=0，
∴g'（x）≤0，g（x）在[1，e]上递减，
∴g（e）≤g（x）≤g（1），
∴$\frac{3}{e+1}$≤k≤1，
故有实数根的范围为$\frac{3}{e+1}$≤k≤1；
（Ⅱ）h（x）=f（x）-x-1=lnx-x+1，
当0＜x＜1时，h'（x）=$\frac{1}{x}$-1＞0，
∴在（0，1）上，h（x）＜h（1）=0，
∴lnx＜x-1，
令x=$\frac{1}{n}$，
∴ln$\frac{1}{n}$＜$\frac{1}{n}$-1，
累加得：ln$\frac{1}{2}$+ln$\frac{1}{3}$+…+ln$\frac{1}{n}$＜$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-（n-1），
∴n-ln（2•3•…•n）＜S_n，
∴2×3×4×…×n＞e^（n-S_n）．

点评考查了利用导函数判断原函数的单调性，进而求出函数的值域，利用构造函数的思想，结合题的特点，利用累加法证明问题．难点是对函数的巧妙构造．