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金考卷·百校联盟(新高考卷)2023年普通高等学校招生全国统一考试 领航卷7(七)数学试卷答案

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15.2021年12月9日,“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为青少年带来一场精彩纷呈太空科普课。“天空课堂”上,王亚平展示了如何在太空中饮用再生水。下列关于水的叙述正确的是A.带有正电荷或负电荷的分子(或离子)都易与水结合,因此水是良好的溶剂B.水在人体病变的细胞中只以自由水的形式存在C.结合水与细胞中的蛋白质、脂肪等物质相结合,失去了流动性和溶解性D.自由水与结合水的比例处于动态变化中,有利于生物体适应环境的多种变化

分析利用换元法，设t=1+$\frac{1}{x}$，把原不等式化为lnt＞1-$\frac{1}{t}$，t＞1；
再设函数f（t）=lnt-（1-$\frac{1}{t}$），t＞1，利用导数判断f（t）的单调性，从而证明不等式成立．

解答证明：令t=1+$\frac{1}{x}$，x=$\frac{1}{t-1}$，t＞1，
∴$\frac{1}{1+x}$=$\frac{1}{1+\frac{1}{t-1}}$=$\frac{t-1}{t}$=1-$\frac{1}{t}$，
原不等式化为lnt＞1-$\frac{1}{t}$，t＞1；
设f（t）=lnt-（1-$\frac{1}{t}$），t＞1，
则f′（t）=$\frac{1}{t}$-$\frac{1}{{t}^{2}}$=$\frac{t-1}{{t}^{2}}$＞0，
∴f（t）在（1，+∞）上是单调增函数，
∴f（t）＞f（1）=0，
∴lnt＞1-$\frac{1}{t}$；
即ln（1+$\frac{1}{x}$）＞$\frac{1}{1+x}$（0＜x＜+∞）．

点评本题考查了利用导数判断函数的单调性以及利用函数的单调性证明不等式成立的问题，体现了转化、换元的数学思想，是中档题．