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2023届衡水金卷先享题调研卷新教材(三)3数学试卷答案

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16．已知M（x₀，y₀）是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1上的一点，F₁、F₂是C上的两个焦点，若∠F₁MF₂为钝角，则y₀的取值范围是$（-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，0）∪（0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$．

分析画出函数f（x）=$\frac{x}{1+|x|}$的图象，分析函数f（x）=$\frac{x}{1+|x|}$的性质，逐一分析四个结论的正误，可得答案．

解答解：∵函数f（x）=$\frac{x}{1+|x|}$的图象如下图所示：

对于（1），由图可得：函数图象关于原点对称，函数为奇函数，
∴?x∈R，等式f（-x）+f（x）=0恒成立，故（1）正确；
对于（2），?m∈（0，1），|f（x）|=m时，|f（-x）|=m，
∴方程|f（x）|=m均有两个不等实数根，故（2）正确；
对于（3），函数在定义R为增函数，
∴?x₁，x₂∈R，若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂），故（3）正确；
对于（4），当k∈（1，+∞），使得函数f（x）的图象与y=k仅交于原点，
∴?k∈（1，+∞），函数g（x）=f（x）-kx在R上仅有一个零点．故（4）错误，
故选：C．

点评本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的单调性，奇偶性，零点，全称命题与特称命题等知识点，难度中档．