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山西省大同2024-2025学年第一学期高三第一次月考数学试卷答案

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3．底面是正三角形且侧棱和底面垂直的三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长为3，底面边长为1，沿侧面从A点经过棱BB₁上的M点再经过棱CC₁上的N点到A₁点．当所经路径AM-MN-NA₁最短时，AM与A₁N所成的角的余弦值为$\frac{1}{4}$．

分析根据题意，画出图形，结合图形，找出三棱锥的高与斜高，利用三角形的边角关系求出它们的值．

解答解：正三棱锥V-ABC中，底面边长AB=8，侧棱长VB=2$\sqrt{6}$，
设O是正△ABC的中心，则VO为棱锥的高，
连接AO并延长，交BC于点D，连接VD，则VD是棱锥的斜高，
如图所示；
AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$VB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×8=4$\sqrt{3}$，
AO=$\frac{2}{3}$AD=$\frac{2}{3}$×4$\sqrt{3}$=$\frac{8}{3}$$\sqrt{3}$；
∴棱锥的高为
VO=$\sqrt{{VA}^{2}{-AO}^{2}}$=$\sqrt{{（2\sqrt{6}）}^{2}{-（\frac{8}{3}\sqrt{3}）}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
棱锥的斜高为
VD=$\sqrt{{VB}^{2}-{BD}^{2}}$=$\sqrt{{（2\sqrt{6}）}^{2}{-4}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

点评本题考查了棱锥的结构特征以及线面间的距离与位置关系的应用问题，是基础题目．