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陕西省建大附中高2024-2025学年第一学期高一开学检测数学试卷答案

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19．已知圆C：（x-1）²+（y-4）²=r²（r＞0）
（Ⅰ）若直线x-y+5=0与圆C相交所得弦长为$2\sqrt{2}$，求半径r；
（Ⅱ）已知原点O，点A（2，0），若圆C上存在点P，使得$|PO|=\sqrt{2}|PA|$，求半径r的取值范围．

分析设出C（x，y），分别求出向量 $\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{AB}$的坐标，根据“两个向量平行，交叉相乘差为0”，“两个向量垂直，对应相乘和为0”构造方程组，进而求出 $\overrightarrow{OC}$的坐标；

解答解：设$\overrightarrow{OC}$=（x，y）
则∵向量$\overrightarrow{OA}$=（-3，1），$\overrightarrow{OB}$=（0，5），
∴$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$=（x+3，y-1），
$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$=（x，y-5），
$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$=（3，4）
又$\overrightarrow{AC}$∥$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{BC}$⊥$\overrightarrow{AB}$，
∴5（x+3）=0，且3x+4（y-5）=0
解得x=-3，y=$\frac{29}{4}$．
∴向量$\overrightarrow{OC}$的坐标：（-3，$\frac{29}{4}$）．

点评本题考查的知识点是数量积判断两个平面向量的垂直关系，共线（平行）向量，平面向量的坐标运算，平面向量的基本定理，其中根据已知条件构造对应的方程组，是解答本题的关键．