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2023-2024学年度宿州市第二学期期末质量监测八年级数学试卷答案

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15.(12分)如图所示,右端有半径为R的四分之一光滑圆弧面的长木板A静止放置在光滑的水平面上,圆弧的最低点与长木板水平部分相切,长木板A的质量为3m,水平部分粗糙.在长木板右侧某处固定一个竖直挡板,质量为m的小物块B可视为质点,从长木板圆弧面的最高点由静止释放,当物块刚滑离圆弧面时,长木板与挡板发生弹性撞,当物块运动到长木板最左端时刚好与长木板相对静止,长木板水平部分长为2R,重力加速度为;.求:(1)开始时长木板右侧离挡板的距离;B(2)物块与长木板间的动摩擦因数.挡板

分析根据基本不等式得$\frac{1}{2}$[${2}^{{x}_{1}}$+${2}^{{x}_{2}}$]≥$\frac{1}{2}$•2•$\sqrt{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$=${2}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$，这是证明本命题的关键．

解答证明：因为函数f（x）=2^x，x₁，x₂是任意实数，所以，
左边=$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]=$\frac{1}{2}$[${2}^{{x}_{1}}$+${2}^{{x}_{2}}$]，
右边=f（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$）=${2}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$，
根据基本不等式，
$\frac{1}{2}$[${2}^{{x}_{1}}$+${2}^{{x}_{2}}$]≥$\frac{1}{2}$•2•$\sqrt{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$=${2}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$，
由于x₁≠x₂，所以，$\frac{1}{2}$[${2}^{{x}_{1}}$+${2}^{{x}_{2}}$]＞${2}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$，
因此，左边＞右边，
即：$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]＞f（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$）．

点评本题主要考查了运用基本等式证明不等式问题，涉及到函数值的计算，和取等条件的分析，属于中档题．