漯河市2023-2024学年下学期期末质量监测(高一年级)数学试题答案 (更新中)

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试题答案

漯河市2023-2024学年下学期期末质量监测(高一年级)数学试卷答案

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14.函数f(x)=2x3-6x2+7在[-1,2]上的最大值是7.

分析把已知等式两边平方得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{1}{4}(λ+\frac{1}{λ})$,利用不等式求得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的最小值,代入数量积求夹角公式得答案.

解答解:由|λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow{b}$|(λ>0),得
$(λ\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^{2}=3(\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow{b})^{2}$,
即${λ}^{2}|\overrightarrow{a}{|}^{2}+2λ\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}$=$3|\overrightarrow{a}{|}^{2}-6λ\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+3{λ}^{2}|\overrightarrow{b}{|}^{2}$.
∵$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=1$,
∴${λ}^{2}+2λ\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+1=3-6λ\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+3{λ}^{2}$,
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{1}{4}(λ+\frac{1}{λ})$$≥\frac{1}{4}•2\sqrt{λ•\frac{1}{λ}}=\frac{1}{2}$.
当且仅当λ=1时上式等号成立.
∴cos$<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{1}{2}$.
则当$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$最小时$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°.

点评本题考查平面向量的数量积运算,考查了数量积运算的坐标表示,训练了利用基本不等式求最值,是中档题.

漯河市2023-2024学年下学期期末质量监测(高一年级)数学
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