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乐山市高中2025届教学质量检测（期末考试）数学试卷答案

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5．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，1），$\overrightarrow{b}$=（0，-2）．
（1）当k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角为120°时，求k的值；
（2）问：是否存在实数k使得k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$垂直？请给出理由．

分析（1）求导f′（x）=x²-2x-3，从而可得f′（0）=-3，f（0）=3，从而写出切线方程；
（2）由导数可知f（x）在[-2，-1）上是增函数，在[-1，2]上是减函数；从而得到最值；
（3）化简f′（x）=（x+1）（x-3），从而确定函数的极值．

解答解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x+3，
∴f′（x）=x²-2x-3，
∴f′（0）=-3，f（0）=3，
∴函数在点（0，3）处的切线方程为y-3=-3x，
即3x+y-3=0；
（2）∵f′（x）=x²-2x-3=（x+1）（x-3），
∴f（x）在[-2，-1）上是增函数，在[-1，2]上是减函数；
而f（-2）=$\frac{7}{3}$，f（-1）=$\frac{14}{3}$，f（2）=-$\frac{13}{3}$；
故函数在区间[-2，2]上的最大值为$\frac{14}{3}$，
最小值为-$\frac{13}{3}$．
（3）∵f′（x）=（x+1）（x-3），
∴f（x）在x=-1处有极大值$\frac{14}{3}$，在x=3处有极小值-6．

点评本题考查了导数的综合应用及函数在闭区间上的最值．