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河北省邢台市信都区2023-2024学年第二学期七年级期末质量监测数学试卷答案

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20．若函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}-bx+4$在点P（2，f（2））处的切线为$y=4x-\frac{10}{3}$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）讨论方程f（x）=k实数解的个数．

分析设出直线方程代入抛物线方程整理可得k²x²+（4k²+2k-4）x+4k²+4k+1=0（*）直线与抛物线只有一个公共点?（*）只有一个根．

解答解：由题意可设直线方程为：y=k（x+2）+1，
代入抛物线方程整理可得k²x²+（4k²+2k-4）x+4k²+4k+1=0（*）
直线与抛物线只有一个公共点等价于（*）只有一个根
①k=0时，y=1符合题意；
②k≠0时，△=（4k²+2k-4）²-4k²（4k²+4k+1）=0，整理，得2k²+k-1=0，
解得k=$\frac{1}{2}$或k=-1．
满足题意的直线有3条．
故选：C．

点评本题主要考查了由直线与抛物线的位置关系的求解参数的取值范围，一般的思路是把位置关系转化为方程解的问题，体现了转化的思想．