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天壹名校联盟·湖南省2024年上学期高一期末考试数学试卷答案

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13.(12分)如图甲是家庭种植盆栽经常会用到的喷壶,它的结构可以简化为乙图.喷壶的容积为V0,一开始装人0.6V。,的水,此时壶内气压与大气压p0相等.出水阀关闭,按压一次打气筒可以把体积为V050,强为po的气体压入其中,单向阀门1只能向筒内进气,单向阀门2只能向筒外出气.p0多次按压后打开出水阀,会有水喷洒而出.所有的过程中气体都可以近似认为温度不变,不考虑出水管中液体重力的影响.(1)通过多次打气使得壶内气压为1.2p,然后打开出水阀让水流出,求最终壶中剩余水的体积;1.2p0,(2)保持(1)中的水量不变,打气让壶内气压再次超过1.2p0,,至少需要打多少次?

分析利用等比数列的求和公式，化简，再代入计算，即可得出结论．

解答解：∵$\frac{{{S_{504}}}}{{{S_{1008}}}}$=$\frac{1}{10}$，
∴$\frac{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{504}）}{1-q}}{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{1008}）}{1-q}}$=$\frac{1}{10}$，
∴$\frac{1}{1+{q}^{504}}$=$\frac{1}{10}$，
∴q⁵⁰⁴=9，
∴$\frac{{{S_{1008}}}}{{{S_{2016}}}}$=$\frac{1}{1+{q}^{1008}}$=$\frac{1}{82}$．
故选：B．

点评本题考查等比数列的求和公式，考查学生的计算能力，属于中档题．