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江西省高一鹰潭市2023-2024学年度下学期期末质量检测数学试卷答案

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14.烷烃催化裂解也可制备氢气:C2H6(g)C2H4(g)+H2(g)H,,催化裂解过程中利用膜反应新技术可以实现边反应边分离出生成的氢气。不同温度下,1.0mol1乙烷在容积为1.的恒容密闭容器中发生催化裂解反应。氢气移出率a[a=n(5)n×100%]不同时,C2H6的平衡转化率与反应温度的关系如图所示,乙烷的平衡转化率下列说法正确的是A.加入催化剂,可以通过降低反应的活化能达到减小△H的目的B.若a2=80\%,,则B点时体系内碳、氢原子个数比N(C):N(H)=1:2C.若A点时,平衡常数K=0.81,,则a1=90\%D.反应达到平衡后,向容器中通入惰性气体,可以增大单位时间内C2H6的转化率

分析（1）由题意得到关于a，b，c的不等式组，求解不等式组得到a，b，c的值，则椭圆方程可求；
（2）联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系求得A，B中的坐标，代入圆x²+y²=1求得m值，再由弦长公式求得|AB|．

解答解：（1）由题意，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{c=2}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得：a²=8，b²=4．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得3x²+4mx+2m²-8=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4m}{3}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}-8}{3}$．
∴${y}_{1}+{y}_{2}={x}_{1}+{x}_{2}+2m=-\frac{4m}{3}+2m=\frac{2m}{3}$，
∴A，B的中点坐标为（$-\frac{2m}{3}，\frac{m}{3}$），
又线段AB的中点M在圆x²+y²=1上，
∴$（-\frac{2m}{3}）^{2}+（\frac{m}{3}）^{2}=1$，解得：$m=\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4}{3}×\frac{3\sqrt{5}}{5}=-\frac{4\sqrt{5}}{5}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2×（\frac{3\sqrt{5}}{5}）^{2}-8}{3}$=$-\frac{22}{15}$．
则|AB|=$\sqrt{2}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}\sqrt{（-\frac{4\sqrt{5}}{5}）^{2}+4×\frac{22}{5}}$=$\frac{4\sqrt{65}}{5}$．

点评本题考查椭圆方程的求法，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，训练了弦长公式的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．