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庐江县2023/2024学年度七年级第二学期期末教学质量抽测数学试卷答案

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2.一种既能检验又能吸附重金属离子的聚丙烯酰胺微凝胶的分子结构示意图如下。下列说法错误的是A.键长:O-H键-NH2C.碳原子的杂化方式均为sp^2杂化D.第一电离能:N>O>S

分析（1）联立直线方程和抛物线方程，由判别式为0求得p，则抛物线方程可求．由题意可得椭圆的c，结合离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$及隐含条件求出a，b，则椭圆方程可求；
（2）对直线l的斜率分类讨论：当直线l的斜率不存在时，即λ=-1时，直接求出．当直线l的斜率存在时，即λ∈[-2，-1）时，设直线l的方程为y=k（x-1），与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用向量相等$\overrightarrow{FA}$=λ$\overrightarrow{FB}$，可得$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$=λ，且λ＜0，得到：λ+$\frac{1}{λ}$+2=$\frac{-4}{1+2{k}^{2}}$，由λ∈[-2，-1）可得到k²的取值范围．由于$\overrightarrow{MA}$=（x₁-2，y₁），$\overrightarrow{MB}$=（x₂-2，y₂），可得$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$=（x₁+x₂-4，y₁+y₂），$|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}{|}^{2}$=（x₁+x₂-4）²+（y₁+y₂）²=4+$\frac{10}{1+2{k}^{2}}+\frac{2}{（1+2{k}^{2}）^{2}}$，令t=$\frac{1}{1+2{k}^{2}}$换元，利用配方法即可得出|$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$|的最小值．

解答解：（1）联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，得x²+（2-2p）x+1=0．
由△=（2-2p）²-4=0，解得：p=2．
∴抛物线C₁：y²=4x；
又椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线C₁的焦点F重合，
∴c=1，且$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$a=\sqrt{2}$，则b²=a²-c²=1．
∴椭圆C₂的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）M（a²，0）=（2，0），
如图：当直线l的斜率不存在时，即λ=-1时，A（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
又M（2，0），∴|$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$|=|（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）+（-1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）|=2；
当直线l的斜率存在时，即λ∈[-2，-1）时，设直线l的方程为y=k（x-1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-x}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y₁≠0，y₂≠0，
则x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2k=$\frac{-2k}{1+2{k}^{2}}$ ①，
y₁•y₂=k²（x₁x₂-（x₁+x₂）+1）=$\frac{-{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$ ②．
∵$\overrightarrow{FA}$=λ$\overrightarrow{FB}$，∴$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$=λ，且λ＜0．
将①式平方除以②式得：λ+$\frac{1}{λ}$+2=$\frac{-4}{1+2{k}^{2}}$，
由λ∈[-2，-1），得λ+$\frac{1}{λ}$∈[-$\frac{5}{2}$，-2），即λ+$\frac{1}{λ}$+2∈[-$\frac{1}{2}$，0）．
∴-$\frac{1}{2}$≤$\frac{-4}{1+2{k}^{2}}$＜0，解得k²≥$\frac{7}{2}$．
∵$\overrightarrow{MA}$=（x₁-2，y₁），$\overrightarrow{MB}$=（x₂-2，y₂），
∴$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$=（x₁+x₂-4，y₁+y₂），
又x₁+x₂-4=$\frac{-4（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}$，
∴$|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}{|}^{2}$=（x₁+x₂-4）²+（y₁+y₂）²
=$\frac{16（1+{k}^{2}）^{2}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}$+$\frac{4{k}^{2}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}$=$\frac{4（1+2{k}^{2}）^{2}+10（1+2{k}^{2}）+2}{（1+2{k}^{2}）^{2}}$
=4+$\frac{10}{1+2{k}^{2}}+\frac{2}{（1+2{k}^{2}）^{2}}$，
令t=$\frac{1}{1+2{k}^{2}}$，∵k²≥$\frac{7}{2}$，
∴0＜$\frac{1}{1+2{k}^{2}}≤\frac{1}{8}$，即t∈（0，$\frac{1}{8}$]，
∴$|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}{|}^{2}$=2t²+10t+4=2（t+$\frac{5}{2}$）²-$\frac{17}{2}$．
则$|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}{|}^{2}$∈（4，$\frac{169}{32}$]．
∴|$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$|的最小值为2．

点评本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质，考查了换元法、分类讨论、向量相等及其向量运算和向量的模等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，考查了推理能力和计算能力，属于难题．