山东省2022-2023学年度部分学校高三上学期教学质量摸底考试数学试题答案(更新中)

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试题答案

山东省2022-2023学年度部分学校高三上学期教学质量摸底考试数学试卷答案

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4.若不等式ax2+bx+1>0的解集是(-$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{2}$),则不等式x2+bx+a<0的解集是(-3,2).

分析(1)曲线x2+y2+2x-6y+1=0上有两点P、Q,满足关于直线x+my+4=0对称,说明曲线是圆,直线过圆心,代入直线方程易求m的值;
(2)设P(x1,y1)、Q(x2,y2),PQ方程为y=-x+b.联立方程组,结合韦达定理,以及OP⊥OQ,求得b的方程,然后求直线PQ的方程.
(3)由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}+2x-6y+1=0}\end{array}\right.$,解得x的值,P,Q两点的坐标,△MPQ的三个内角都可能为钝角,分类讨论即可得解.

解答解:(1)曲线方程为(x+1)2+(y-3)2=9,表示圆心为(-1,3),半径为3的圆.
∵点PQ在圆上且关于直线x+my+4=0对称.
∴圆心(-1,3)在直线上,代入直线方程得m=-1.…2分
(2)∵直线PQ与直线y=x+4垂直,
∴设Px1y1),Qx2y2),PQ方程为y=-x+b.…3分
y=-x+b代入圆方程得,
2x2+2(4-bx+b2-6b+1=0.
△=4(4-b2-8×(b2-6b+1)>0,∴2-3$\sqrt{2}$<b<2+3$\sqrt{2}$,
由韦达定理得,
x1+x2=b-4,x1x2=$\frac{{b}^{2}-6b+1}{2}$,…4分
y1y2=(-x1+b)(-x2+b
=b2-bx1+x2)+x1x2=$\frac{{b}^{2}+2b+1}{2}$,
∵$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0,∴x1x2+y1y2=0,…5分
即$\frac{{b}^{2}-6b+1}{2}$+$\frac{{b}^{2}+2b+1}{2}$=0.解得b=1∈(2-3,2+3).∴所求的直线PQ方程为y=-x+1.…7分
(3)由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}+2x-6y+1=0}\end{array}\right.$得x2+3x-2=0,解得x=$\frac{-3±\sqrt{17}}{2}$,所以P($\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$,$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$),Q($\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$,$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$)…8分
1、若∠PMQ为钝角时,M点在以PQ为直径的圆内.而PQ中点为($\frac{-3}{2}$,$\frac{5}{2}$),所以以PQ为直径的圆与x轴交于两点O(0,0),A(-3,0),所以-3<x<0.…9分
2、当∠MPQ为钝角时,过P点且垂直于PQ的直线方程为y-$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$=x+$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$,令y=0得x=-4-$\sqrt{17}$,

所以x<-4-$\sqrt{17}$…10分
3、当∠MQP为钝角时,过Q点且垂直于PQ的直线方程为y-$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$=x-$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$,令y=0得x=$\sqrt{17}$-4,所以x>$\sqrt{17}$-4,由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{y=0}\end{array}\right.$得直线PQ与x轴的交点为M(1,0),此时M,P,Q三点共线,所以x>$\sqrt{17}$-4且x≠1…12分
综上:当△MPQ为钝角三角形时,M的横坐标的取值范围为:(-∞,-4-$\sqrt{17}$)∪(-3,0)∪($\sqrt{17}$-4,1)∪(1,+∞)…13分

点评本题考查直线与圆的方程的应用,直线的一般式方程,考查直线恒过定点,考查直线与圆的位置关系,函数与方程的思想,是中档题.

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山东省2022-2023学年度部分学校高三上学期教学质量摸底考试数学
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