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河南省2024年八年级学业水平调研抽测（6月）数学试卷答案

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11．已知对数函数的图象经过点（2，-1）．
（1）求函数的解析式
（2）当x∈[1，4]时，求函数的值域．

分析（1）利用椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$过点$（1，\frac{3}{2}）$，且离心率为$\frac{1}{2}$，建立方程，求出a，b，即可椭圆C的方程；
（2）动直线l：y=k（x-4）代入椭圆方程，整理可得（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0，利用韦达定理，结合斜率公式，即可求直线AD与直线AE的斜率之乘积．
（3）运用韦达定理，结合直线的斜率公式和直线恒过定点的求法，化简整理计算即可得到．

解答解：（1）∵椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$过点$（1，\frac{3}{2}）$，且离心率为$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{\frac{9}{4}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
∴a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），动直线l：y=k（x-4）
代入椭圆方程，整理可得（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0，
∴x₁+x₂=$\frac{32{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{64{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∵A（-2，0），
∴直线AD与直线AE的斜率之乘积=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$=$\frac{{k}^{2}（{x}_{1}-4）（{x}_{2}-4）}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}+2）}$=$\frac{9}{4}$；
（3）F（x₁，-y₁），E（x₂，y₂），
∴EF的方程为y+y₁=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（x-x₁），即y+k（x₁-4）=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（x-x₁），
令y=0，可得k（x₁-4）（x₂-x₁）=k（x₁+x₂-8）（x-x₁），
∴（x₁+x₂-8）x=2x₁x₂-4（x₁+x₂），
∴x=1，
∴直线EF过定点（1，0）．

点评本题考查椭圆方程和性质，主要考查椭圆的离心率公式和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，同时考查直线恒过定点的求法，属于中档题．