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长沙市第一中学2022-2023学年度高二第一学期第二次阶段性考试数学试卷答案

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18．已知$\frac{sinβ}{sinα}$=cos（α+β），其中α，β为锐角．
（1）求证：tanβ=$\frac{sin2α}{3-cos2α}$；
（2）求tanβ的最大值．

分析先求出前四项，猜测$x^n+\frac{1}{x^n}$=2cosnθ，再用数学归纳法证明猜测的正确性．

解答解：因为$x+\frac{1}{x}$=2cosθ，所以可得如下各项：
$x^2+\frac{1}{x^2}$=4cos²θ-2=2（2cos²θ-1）=2cos2θ，
$x^3+\frac{1}{x^3}$=（$x+\frac{1}{x}$）（$x^2+\frac{1}{x^2}$）-（$x+\frac{1}{x}$）=2cos3θ，
$x^4+\frac{1}{x^4}$=（$x^2+\frac{1}{x^2}$）²-2=4cos²2θ-2=2（2cos²2θ-1）=2cos4θ，
…
可猜想：$x^n+\frac{1}{x^n}$=2cosnθ，
下面用数学归纳法证明猜测的正确性．
①当k=1，$x+\frac{1}{x}$=2cosθ，猜测成立；
②假设k=n时猜测成立，即$x^n+\frac{1}{x^n}$=2cosnθ，
那么，当k=n+1时，
${x}^{n+1}+\frac{1}{{x}^{n+1}}$=（$x+\frac{1}{x}$）（$x^n+\frac{1}{x^n}$）-（${x}^{n-1}+\frac{1}{{x}^{n-1}}$）
=2cosθ•2cosnθ-2cos（n-1）θ
=2[2cosθ•cosnθ-cos（n-1）θ]
=2[cos（n+1）θ+cos（n-1）θ-cos（n-1）θ]
=2cos（n+1）θ，
即k=n+1时，猜想也成立，
综合以上讨论得，对任意的正整数n都有$x^n+\frac{1}{x^n}$=2cosnθ成立．

点评本题主要考查了归纳推理，以及运用数学归纳法证明猜测的正确性，属于中档题．