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江西省2023-2024学年第二学期高二年级第八次联考数学试卷答案

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1.空心莲子草最早作为动物饲料被引入我国,现在却成为恶性入侵杂草。水陆均可生长,可入侵多种生境,生长迅速难以控制。入侵后,通常是先形成大小不等的斑块,由于茎分枝、生长,很快就能连成一片。下列相关叙述错误的是属于物种入度A.空心莲子草初人我国在一段时间内是“JB.空心莲子草往往会对其他植物造成道,从而使样降低,其种群的个体数量甚至降低群羊热度构变得简单C.空心莲子草的入侵会降低某些种群的个体数量生长迅速且成片生长.D.因为空心莲子草个体较大,所以适合采取样方法调查具种群数量

分析（I）化简得f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{3}{2}$cos2x=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），结合正弦函数的性质求出f（x）得最大值和最小值；
（II）由f（x₀）=1可得sin（2x₀+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，然使用差角公式得到cos2x₀．

解答解：（I）f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x-4•$\frac{1-cos2x}{2}$+2=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{3}{2}$cos2x=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∵$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
∴当2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最大值$\sqrt{3}$，
当2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{4π}{3}$时，f（x）取得最小值-$\frac{3}{2}$．
∴f（x）的值域是[-$\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$]．
（II）∵f（x₀）=$\sqrt{3}$sin（2x₀+$\frac{π}{3}$）=1，∴sin（2x₀+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵${x_0}∈[{\frac{π}{12}，\frac{π}{3}}]$，∴2x₀+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{2}$，π]，∴cos（2x₀+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴cos2x₀=cos（2x₀+$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{3}$）=cos（2x₀+$\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{3}$+sin（2x₀+$\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{3}$=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3-\sqrt{6}}{6}$．

点评本题考查了三角函数的恒等变换和性质，发现要求角与已知角的关系是关键．