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2024年河北省初中毕业生升学文化课模拟考试 (M三)数学试卷答案

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16.(16分)如图,水平虚线MN上方一半径为R的半圆区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,半圆磁场的圆心O在MN上,虚线下方有平行纸面向上的范围足够大的匀强电场。一个质量为m、电荷量为的带正电的粒子从O点以大小为v0的初速度平行纸面射人磁场,速度方向与ON的夹角=60^,,粒子在磁场中运动的圆轨迹刚好与磁场边界相切,粒子进入电场后又从P点进入磁场,OP=32RR,不计粒子的重力,求:B=12元(1)匀强磁场的磁感应强度大小;=x(2)匀强电场的电场强度大小;(3)粒子在电场和磁场中运动的总时间。b=26元××M>0N10P20820BE26002100

分析（I）曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，t≠0），其中0≤α＜π，相除法即可得出直角坐标方程．曲线C₂：ρ=2sinθ，化为ρ²=2ρsinθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化为直角标准方程：x²+y²=2y，联立即可解出．
（II）曲线C₃：ρ=2$\sqrt{3}$cosθ．化为ρ²=2$\sqrt{3}$ρcosθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，即可化为直角标准方程：x²+y²=2$\sqrt{3}$x，联立即可解出．利用两点之间的距离公式与三角函数的单调性即可得出|AB|的最大值是4．

解答解：（I）曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，t≠0），其中0≤α＜π，化为直角坐标方程：y=xtanα，0≤α＜π，
曲线C₂：ρ=2sinθ，化为ρ²=2ρsinθ，化为直角标准方程：x²+y²=2y，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=xtanα}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=2y}\end{array}\right.$，化为（1+tan²α）x²-2xtanα=0，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=sin2α}\\{y=2si{n}^{2}α}\end{array}\right.$．
∴交点直角坐标（0，0），（sin2α，2sin²α）．
（II）曲线C₃：ρ=2$\sqrt{3}$cosθ．化为ρ²=2$\sqrt{3}$ρcosθ，化为直角标准方程：x²+y²=2$\sqrt{3}$x，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=xtanα}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=2\sqrt{3}x}\end{array}\right.$，
化为（1+tan²α）x²-2$\sqrt{3}$x=0，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{3}co{s}^{2}α}\\{y=\sqrt{3}sin2α}\end{array}\right.$．
∴交点直角坐标（0，0），（$2\sqrt{3}co{s}^{2}α$，$\sqrt{3}$sin2α）．
|AB|=$\sqrt{（sin2α-2\sqrt{3}co{s}^{2}α）^{2}+（2si{n}^{2}α-\sqrt{3}sin2α）^{2}}$=$\sqrt{8-8sin（2α-\frac{π}{6}）}$，
∵0≤α＜π，∴$-\frac{π}{6}$≤2α$-\frac{π}{6}$＜$\frac{11π}{6}$，∴$sin（2α-\frac{π}{6}）$∈[-1，1]．
∴|AB|=$\sqrt{8-8sin（2α-\frac{π}{6}）}$≤4，当$sin（2α-\frac{π}{6}）$=-1，即α=$\frac{5π}{6}$时取等号．
∴|AB|的最大值是4．

点评本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线的参数方程、两点之间的距离公式、圆的标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．