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点石联考 辽宁省2023-2024学年度下学期高二年级6月阶段考试数学试卷答案

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16．已知函数f（x）=lg（1-x）的值域为（-∞，1），则函数f（x）的定义域为（　　）

分析根据已知中函数y=f（x）的图象关于原点对称，f（2）=2，且任意0＜x₂＜x₁都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜1．分x＞2时，0＜x＜2时，-2＜x＜0时，x＜-2时四种情况讨论，可得不等式f（x）-x＞0的解集．

解答解：令x₁=x＞2，x₂=2，则0＜x₂＜x₁，
则有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{f（x）-f（2）}{x-2}$=$\frac{f（x）-2}{x-2}$＜1，
即f（x）-2＜x-2，
即x＞2时，f（x）-x＜0，
令0＜x=x₂＜2，x₁=2，则0＜x₂＜x₁，
则有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{f（2）-f（x）}{2-x}$=$\frac{f（x）-2}{x-2}$＜1，
即f（x）-2＞x-2，
即0＜x＜2时，f（x）-x＞0，
又由函数y=f（x）的图象关于原点对称，
∴-2＜x＜0时，f（x）-x＜0，
x＜-2时，f（x）-x＞0，
综上可得：不等式f（x）-x＞0的解集（-∞，-2）∪（0，2），
故选：C

点评本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，分类讨论思想，难度中档．