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2024三湘大联考初中学业水平考试模拟试卷(六)数学试卷答案

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18.(12分)如图,半径R=0.5m的光滑圆弧轨道ABC与足够长的粗糙轨道CD在C处平滑连接,O为圆弧轨道ABC的圆心,B点为圆弧轨道的最低点,半径OA、OC与OB的夹角分别为:53^和37^.将一个质量m=0.5kg的物体(视为质点)从A点左侧高h=0.8m处的P点水平抛出,恰从A点沿切线方向进入圆弧轨道.已知物体与轨道CD间的动摩擦因数=0.8,,重力加速度g=10m/s^2,37^=0.6,37^=0.8,53^=0.8,53^=0.6,,不计空气阻力.求:(1)物体水平抛出时的初速度大小v0;(2)经过B点时,圆弧轨道对物体的支持力FN的大小;(3)物体在轨道CD上运动的距离x.(结果保留一位小数)

分析（1）展开利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，ρ²=x²+y²，即可得出直角坐标方程；
（2）由x²+y²-4x-4y+6=0配方为：（x-2）²+（y-2）²=2．可得圆心C（2，2），半径r=$\sqrt{2}$．求出|OC|，进而得出最值．

解答解：（1）圆的极坐标方程为：ρ²-4$\sqrt{2}$ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）+6=0，展开可得ρ²-4$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρcosθ+ρsinθ）+6=0，可得直角标准方程：x²+y²-4x-4y+6=0．
（2）由x²+y²-4x-4y+6=0配方为：（x-2）²+（y-2）²=2．
可得圆心C（2，2），半径r=$\sqrt{2}$．
|OC|=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∴x²+y²的最大值和最小值分别为$（2\sqrt{2}+\sqrt{2}）^{2}$，$（2\sqrt{2}-\sqrt{2}）^{2}$．即18；2．

点评本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、圆的标准方程、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．