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江西省2024年学考水平练习(四)4数学试卷答案

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16.水平仪可以检验一个平面是否水平。如图甲,在水平仪检查桌面时,铅垂线锥体偏在中央刻度线的左侧,说明此桌面较高的是(选填“左”或“右”)端。如图乙,将足球放在一块长木板上静止,长木板与足球均发生弹性形变,则足球受到的支持力是因为发生弹性形变而产生的,使长木板发生形变的力是。

分析（1）由条件利用正弦函数的单调性，求得f（x）的单调递增区间．
（2）由题意可得函数y=2sinm的图象和直线y=-1-a在[0，$\frac{3π}{4}$]上有2个交点，其中，m=2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{3}$]，数形结合求得a的取值范围．

解答解：（1）∵f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1+a，x∈[0，$\frac{3π}{4}$]，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
再结合x∈[0，$\frac{3π}{4}$]，可得函数的增区间为[[0，$\frac{π}{6}$]、[$\frac{2π}{3}$，$\frac{3π}{4}$]．
（2）根据x∈[0，$\frac{3π}{4}$]，可得2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{3}$]，
若方程f（x）=0在[0，$\frac{3π}{4}$]上有两个不同的实根，则函数y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的图象和直线y=-1-a在[0，$\frac{3π}{4}$]上有2个交点，
即函数y=2sinm的图象和直线y=-1-a在[0，$\frac{3π}{4}$]上有2个交点，其中，m=2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{3}$]．
如图所示：
故有1≤-a-1＜2，或-2＜-a-1≤-$\sqrt{3}$，求得-3≤a＜-2，或$\sqrt{3}$-1≤a＜1，
即a的范围为：-3≤a＜-2，或$\sqrt{3}$-1≤a＜1．

点评本题主要考查正弦函数的单调性，方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．