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2024届长郡中学考前模拟卷一数学试卷答案

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9.由苯丙氨酸羟化酶基因突变引起的苯丙氨酸代谢障碍,是一种严重的单基因遗传病,称为苯丙酮尿症(PKU),正常人群中每70人有1人是该致病基因的携带者(显、隐性基因分别用A、a表示)。图1是某患者的家族系谱图,其中H-1、H-2、H-3及胎儿(羊水细胞)的DNA经限制酶MspI消化,产生不同的片段(kb表示千碱基对),经电泳后用苯丙氨酸羟化酶cDNA探针杂交结果见图2,下列叙述错误的是x1.x×AxxXxXAAAA12正常男女MspIMspIⅡ-1-1maNaan患病女23kbA基因片段23未知性别及性状MspIMspI22&68Ⅲ19kba基因片段图1图2A.I-1、I-1的基因型分别为Aa、aaB.基因a可能是由基因A发生碱基对缺失而形成的等位基因C.若Ⅱ-2和且-3生的第2个孩子表型正常,长大后与正常异性婚配,生下PKUJ患者的概率是正常人群中男女婚配生下PKU患者的46.67倍D.I-1和I-2再生一个女孩患苯丙酮尿症的概率是1/8

分析（Ⅰ）运用定积分的运算法则和三角函数的特殊值，可得m=-1，分别求出g（x），h（x）的导数，求得切线的斜率，切点，再由点斜式方程可得切线的方程，再由两直线平行间的距离，计算即可得到所求；
（Ⅱ）任意x＞0，不等式h（x）≥g（x）恒成立，即为x²-mx-lnx≥0，由x＞0，可得m≤x-$\frac{lnx}{x}$，设F（x）=x-$\frac{lnx}{x}$，求出导数，讨论x＞1，0＜x＜1导数的符号，判断单调性，可得最小值，即可得到m的范围．

解答解：（Ⅰ）f（t）=m${∫}_{\frac{π}{2}}^{t}$（sinx+cosx）dx=m（sinx-cosx）|${\;}_{\frac{π}{2}}^{t}$
=m[（sint-cost）-（1-0）]=m（sint-cost-1），
f（2016π）=2，可得m（-1-1）=2，
解得m=-1，
则h（x）=x²+x的导数为h′（x）=2x+1，
g（x）=lnx的导数为g′（x）=$\frac{1}{x}$，
由题意可得2x₀+1=$\frac{1}{{x}_{0}}$，解得x₀=$\frac{1}{2}$（-1舍去），
即有h（x）在x=$\frac{1}{2}$处的切线的方程为y-$\frac{3}{4}$=2（x-$\frac{1}{2}$），即为2x-y-$\frac{1}{4}$=0；
g（x）在x=$\frac{1}{2}$处的切线的方程为y-ln$\frac{1}{2}$=2（x-$\frac{1}{2}$），即为2x-y-1-ln2=0．
则两切线间的距离为d=$\frac{|1+ln2-\frac{1}{4}|}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{（3+4ln2）\sqrt{5}}{20}$；
（Ⅱ）任意x＞0，不等式h（x）≥g（x）恒成立，
即为x²-mx-lnx≥0，由x＞0，可得m≤x-$\frac{lnx}{x}$，
设F（x）=x-$\frac{lnx}{x}$，F′（x）=1-$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-1+lnx}{{x}^{2}}$，
当x＞1时，F′（x）＞0，F（x）递增；当0＜x＜1时，F′（x）＜0，F（x）递减．
即有x=1处取得极小值，且为最小值1，
则有m≤1，即m的取值范围是（-∞，1]．

点评本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数运用单调性求最值，考查运算能力，属于中档题．