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2024年河南省中考冲刺卷(二)数学试卷答案

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17.烟粉虱会造成番茄减产。研究者对番茄单作、番茄玫瑰邻作(番茄田与玫瑰田间隔1m)模式下番茄田中不同发育阶段的烟粉虱及其天敌进行了调查,结果见下表。下列叙述错误的是A.由单作转为邻作,烟粉虱种群的年龄结构未发生改变B.烟粉虱的防治可以采用物理防治、化学防治等方法C.烟粉虱与番茄之间的关系属于种群水平研究的问题D.玫瑰花香吸引天敌防治害虫,体现了生态系统信息传递能维持生命活动的正常进行

分析（1）根据向量数量积的定义求出函数f（x）的表达式，结合函数的对称性和最值之间的关系利用辅助角公式建立方程关系即可，求a，b的值；
（2）利用方程和函数之间的关系转化为两个函数的函数值相同问题，构造函数，利用三角函数的图象和性质求出函数的值域进行求解即可．

解答解：（1）∵f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=2asinx+2bcosx，f（$\frac{π}{3}$）=2，
∴f（$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$a+b=2，
函数的导数f′（x）=2acosx-2bsinx，
∵导函数f′（x）的图象关于直线x=$\frac{5π}{6}$对称，
∴|-$\sqrt{3}$a-b|=$\sqrt{4{a}^{2}+4{b}^{2}}$=2，
即a²+b²=1，
∵$\sqrt{3}$a+b=2，
∴消去b得4a²-4$\sqrt{3}$a+3=0，
即（2a-$\sqrt{3}$）²=0，
则a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=$\frac{1}{2}$；
（2）∵a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=$\frac{1}{2}$；
∴f（x）=$\sqrt{3}$sinx+cosx=2sin（x+$\frac{π}{3}$），
若关于x的方程f（x）+log₂k=0在区间[0，$\frac{π}{2}$]上总有实数解，
则等价为log₂k=-f（x）=-2sin（x+$\frac{π}{3}$）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上总有实数解，
设g（x）=）=-2sin（x+$\frac{π}{3}$），
当0≤x≤$\frac{π}{2}$时，$\frac{π}{3}$≤x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{5π}{6}$，
则$\frac{1}{2}$≤sin（x+$\frac{π}{3}$）≤1，
则-2≤-2sin（x+$\frac{π}{3}$）≤-1，
由-2≤log₂k≤-1，
解得$\frac{1}{4}$≤k≤$\frac{1}{2}$．

点评本题主要考查函数与方程的应用，利用三角函数的辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．