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安徽省2023-2024学年度高二年级5月阶段性月考卷（4454B）数学试卷答案

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(5)测定纳米xTiO2yH2O组成。取1.735g样品,在酸性条件下充分溶解,加人适量铝粉将TiO^2+还原为Ti^3+。过滤并洗涤,将所得滤液和洗涤液合并配制成250mL溶液,取25.00mL所配溶液于锥形瓶中,滴加几滴KSCN溶液,用0.1000molL^-1NH4Fe(SO4)22标准溶液滴定,将Ti^3+转化成TiO^2+,,重复操作3次,平均消耗20.00mL标准溶液。则xTiO2yH2O

分析（1）利用tanθ=$\frac{y}{x}$，θ=$\frac{π}{6}$（ρ≥0），即可得出C₁的直角坐标方程．利用$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\y=ρsinθ\end{array}$，即可得出C₂的直角坐标方程．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{θ=\frac{π}{6}，ρ≥0}\\{{ρ}^{2}-2{x}_{0}ρcosθ+{{x}_{0}}^{2}-4=0，{x}_{0}∈R}\end{array}\right.$，由于关于ρ的一元二次方程ρ²-$\sqrt{3}$x₀ρ+x₀²-4=0（x₀∈R）在[0，+∞）内有两个实根．可得$\left\{\begin{array}{l}{△=3{x}_{0}^{2}-4（{x}_{0}^{2}-4）＞0}\\{{ρ}_{1}+{ρ}_{2}=\sqrt{3}{x}_{0}＞0}\\{{ρ}_{1}{ρ}_{2}≥0}\end{array}\right.$，解出即可得出．

解答解：（1）∵tan θ=$\frac{y}{x}$，θ=$\frac{π}{6}$（ρ≥0），∴y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x（x≥0）．
∴C₁的直角坐标方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x（x≥0）．
∵$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\y=ρsinθ\end{array}$，∴C₂的直角坐标方程x²+y²-2x₀x+x₀²-4=0．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{θ=\frac{π}{6}，ρ≥0}\\{{ρ}^{2}-2{x}_{0}ρcosθ+{{x}_{0}}^{2}-4=0，{x}_{0}∈R}\end{array}\right.$
关于ρ的一元二次方程ρ²-$\sqrt{3}$x₀ρ+x₀²-4=0（x₀∈R）在[0，+∞）内有两个实根．
即$\left\{\begin{array}{l}{△=3{x}_{0}^{2}-4（{x}_{0}^{2}-4）＞0}\\{{ρ}_{1}+{ρ}_{2}=\sqrt{3}{x}_{0}＞0}\\{{ρ}_{1}{ρ}_{2}≥0}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{-4＜{x}_{0}＜4}\\{{x}_{0}＞2}\\{{x}_{0}≥2或{x}_{0}≤-2}\end{array}\right.$，
解得2≤x₀＜4．

点评本题考查了极坐标化为直角坐标方程的方法、曲线的交点坐标、极坐标方程的应用、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．