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2024届[山西 云南 河南 新疆]高三5月考试(标识:锥形瓶)数学试卷答案

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12．关于x的方程x²+kx-k=0有两个不相等的实数根x₁，x₂，且满足1＜x₁＜2＜x₂＜3，则实数k的取值范围是（　　）

分析利用函数f（x）=x（e^x+ae^-x）是偶函数，得到g（x）=e^x+ae^-x为奇函数，然后利用g（0）=0，可以解得m．函数f（x）=x（e^x+ae^-x）是奇函数，所以g（x）=e^x+ae^-x为偶函数，可得n，即可得出结论．

解答解：设g（x）=e^x+ae^-x，因为函数f（x）=x（e^x+ae^-x）是偶函数，所以g（x）=e^x+ae^-x为奇函数．
又因为函数f（x）的定义域为R，所以g（0）=0，
即g（0）=1+a=0，解得a=-1，所以m=-1．
因为函数f（x）=x（e^x+ae^-x）是奇函数，所以g（x）=e^x+ae^-x为偶函数
所以（e^-x+ae^x）=e^x+ae^-x即（1-a）（e^-x-e^x）=0对任意的x都成立
所以a=1，所以n=1，
所以m+2n=1
故选：B．

点评本题主要考查函数奇偶性的应用，特别是要掌握奇函数的一个性质，若奇函数f（x）过原点，则必有f（0）=0，要灵活使用奇函数的这一性质．