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2024届吉林省高三第九次月考(24068C)数学试卷答案

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16.(16分)如图甲所示,两足够长的光滑导轨固定在水平面内,处于磁感应强度大小为B方向竖直向下的匀强磁场中。导轨间距最窄处为一狭缝(狭缝宽度忽略不计),取狭缝所在处点为坐标原点,狭缝右侧两导轨夹角平分线为x轴,两导轨与x轴来角均为0一阻值为R1的小灯泡L与导轨左端用金属导线相连。现有一根金属棒置于导轨上,在外力F作用下从x=x0处以初速度t0沿x轴正方向做变速运动,已知金属棒运动过程中始终与x轴垂直且速度大小与位置的关系如图乙所示。导轨和金属棒及金属导线的电阻均不计。求:(1)金属棒经过x处时通过小灯泡的电流大小;(2)金属棒从x0运动至x过程中,通过小灯泡L的电荷量;(3)金属棒从x0运动至x过程中,小灯泡产生的焦耳热。图乙

分析（I）利用等比数列与等差数列的通项公式即可得出；
（II）b_n=a_n+log₂$\frac{1}{an}$=2ⁿ+log₂$\frac{1}{2n}$=2ⁿ-n．利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可得出Sn．再利用一元二次不等式的解法即可得出．

解答解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，
∵2a₁+a₃=3a₂，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项
∴a₁（2+q²）=3a₁q  ①，a₁（q+q³）=2a₁q²+4  ②
由①及a₁≠0，得q²-3q+2=0，∴q=1，或q=2，
当q=1时，②式不成立；
当q=2时，符合题意，
把q=2代入②得a₁=2，
∴a_n=2•2^n-1=2ⁿ．
（Ⅱ）b_n=a_n+log₂$\frac{1}{an}$=2ⁿ+log₂$\frac{1}{2n}$=2ⁿ-n．
∴S_n=2-1+2²-2+2³-3+…+2ⁿ-n
=（2+2²+2³+…+2ⁿ）-（1+2+3+…+n）
=$\frac{2（1-2n）}{1-2}$-$\frac{n（1+n）}{2}$=2ⁿ⁺¹-2-$\frac{1}{2}$n-$\frac{1}{2}$n²．
∵S_n-2ⁿ⁺¹+47＜0，
∴2ⁿ⁺¹-2-$\frac{1}{2}$n-$\frac{1}{2}$n²-2ⁿ⁺¹+47＜0，
即n²+n-90＞0，解得n＞9或n＜-10．
∵n∈N^*，故使S_n-2ⁿ⁺¹+47＜0成立的正整数n的最小值为10．

点评本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．