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江西省2024年初中学考终极一考卷模拟卷(5月)数学试卷答案

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14.(13分)如图所示,质量为M=3kg的物体A的左端为半径R=53m的14光滑圆弧,其余部分水平且粗糙,静止放在光滑水平面上.一质量为m=1kg的小物块B(可视为质点)从圆弧顶端无初速度释放,当B滑到圆弧底端时,A刚好与左侧固定挡板发生碰撞,碰撞过程无机械能损失.已知B在A水平部分运动的时间为1s,B与A水平部分的动摩擦因数=0.2,重力加速度g=10m/s^2.求(结果可用分式表示):(1)开始时物体A左端离固定挡板的距离;(2)物体A水平部分的长度.B固定挡板A

分析先求出$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CA}$=（4，3），再求出cos＜$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$，由此能求出$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$夹角的正弦值．

解答解：∵$\overrightarrow{OB}$=（2，0），$\overrightarrow{OC}$=（1，2），$\overrightarrow{CA}$=（3，1），
∴$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CA}$=（1，2）+（3，1）=（4，3），
∴cos＜$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$＞=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|}$=$\frac{8}{2×5}$=$\frac{4}{5}$，
∴0＜＜$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$＞＜$\frac{π}{2}$，
∴sin＜$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$＞=$\sqrt{1-（\frac{4}{5}）^{2}}$=$\frac{3}{5}$．
∴$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$夹角的正弦值为$\frac{3}{5}$．
故答案为：$\frac{3}{5}$．

点评本题考查两向量夹角正弦值的求法，是基础题，解题时要注意向量坐标运算法则的合理运用．