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黑龙江省2023~2024学年度高三第五次模拟(243837Z)数学试卷答案

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18.甜菊苷是从甜叶菊叶片中分离出来的一种次生代谢物,具有高甜度、低热量等特点,对糖尿病等具有一定疗效。科研人员用甜叶菊叶片作为外植体,通过植物组织培养技术,构建了稳定的愈伤组织无性繁殖系。定期测定并计算愈伤组织的生长量(每块愈伤组织的干重增加量)及甜菊苷的含量(甜菊苷占干重的百分比),结果如图所示。下列叙述错误的是

分析（1）由两角和与差的余弦函数及ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出C的直角坐标方程和圆心的直角坐标，由此能求出圆心的极坐标．
（2）先求出直线l的直角坐标方程和圆心C（-1，-1）到直线l的距离d，由此利用勾股定理能求出|AB|．

解答解：（1）∵圆C的极坐标方程为$ρ=2\sqrt{2}cos（θ+\frac{3}{4}π）$
∴ρ=$2\sqrt{2}（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}cosθ-\frac{{\sqrt{2}}}{2}sinθ）$=-2cosθ-2sinθ，
∴ρ²=-2ρcosθ-2ρsinθ，
由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，
得到C的直角坐标方程为x²+y²=-2x-2y，即（x+1）²+（y+1）²=2
∵圆心（-1，-1），
∴$ρ=\sqrt{（-1）^{2}+（-1）^{2}}$=$\sqrt{2}$，θ=$\frac{5π}{4}$，∴圆心的极坐标为$（\sqrt{2}，\frac{5π}{4}）$
（2）∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），
消去参数得到直线l的直角坐标方程为x+y+1=0，
圆心C（-1，-1）到直线l的距离：d=$\frac{|-1-1+1|}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵$d=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，r=$\sqrt{2}$，l与C交于A，B两点，
∴$|{AB}|=2\sqrt{2-\frac{1}{2}}=\sqrt{6}$．

点评本题考圆的直角坐标方程和圆心的极坐标的求法，考查直线与圆相交的相交弦的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的性质、极坐标和直角坐标转化公式的合理运用．