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2024届炎德英才大联考雅礼中学模拟试卷(二)数学试卷答案

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4．O是平面内的一个定点，A，B，C是平面内不共线的三个点，动点P满足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$），λ∈[0，+∞），则P点所在的直线是△ABC的（　　）

分析讨论直线的斜率不存在和存在，可设直线l：y=kx，代入双曲线的方程，讨论二次项的系数为0，大于0，小于0，判断方程的解的情况，进而判断直线和双曲线的交点情况．

解答解：若直线l的斜率不存在时，显然直线与双曲线无交点；
若直线的斜率存在时，可设直线l：y=kx，
代入双曲线的方程，可得（1-4k²）x²=4，①
当1-4k²=0，即有k=±$\frac{1}{2}$，直线为渐近线，显然与双曲线无交点；
当1-4k²＞0，即有-$\frac{1}{2}$＜k＜$\frac{1}{2}$时，方程①有两解，直线与双曲线有两个交点；
当1-4k²＜0，即有k＜-$\frac{1}{2}$或k＞$\frac{1}{2}$时，方程①无解，直线与双曲线无交点．
综上可得符合条件的直线不存在．
故选A．

点评本题考查直线和双曲线的位置关系，考查分类讨论的思想方法，以及运算能力，属于基础题．