山东省济宁市2024年高考模拟考试(2024.05)数学试题答案 (更新中)

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试题答案

山东省济宁市2024年高考模拟考试(2024.05)数学试卷答案

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7.若$\overrightarrow{{e}_{1}}$,$\overrightarrow{{e}_{2}}$为不共线向量,$\overrightarrow{OA}$=k$\overrightarrow{{e}_{1}}$+12$\overrightarrow{{e}_{2}}$,$\overrightarrow{OB}$=4$\overrightarrow{{e}_{1}}$+5$\overrightarrow{{e}_{2}}$,$\overrightarrow{OC}$=-k$\overrightarrow{{e}_{1}}$-10$\overrightarrow{{e}_{2}}$,且A、B、C三点共线,求k的值.

分析(1)利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$把直线l的极坐标方程化为直角坐标;伸缩变换ρ:$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=\frac{y}{2}}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{x={x}^{′}}\\{y=2{y}^{′}}\end{array}\right.$,代入曲线C即可得出.
(2)联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$,解出,再利用两点之间的距离公式即可得出弦长.

解答解:(1)直线l的方程为ρcos(θ$+\frac{π}{4}$)=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,展开化为:$\frac{\sqrt{2}}{2}(ρcosθ-ρsinθ)$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,∴直角坐标方程为:x-y=1,即y=x-1,∴tanα=1,解得$α=\frac{π}{4}$.
曲线C:x2+y2=4在坐标伸缩变换ρ:$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=\frac{y}{2}}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{x={x}^{′}}\\{y=2{y}^{′}}\end{array}\right.$,作用下变为曲线C1:(x′)2+(2y′)2=4,化为$\frac{({x}^{′})^{2}}{4}+({y}^{′})^{2}$=1.
∴直线l的倾斜角$α=\frac{π}{4}$,曲线C1的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1.
(2)联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$,化为5x2-8x=0,解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$,$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{5}}\\{y=\frac{3}{5}}\end{array}\right.$.
∴直线l和曲线C1相交.弦长=$\sqrt{(\frac{8}{5})^{2}+(-1-\frac{3}{5})^{2}}$=$\frac{8\sqrt{2}}{5}$.

点评本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程的方法、直线与椭圆的位置关系、弦长公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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