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山东省济宁市2024年高考模拟考试(2024.05)数学试卷答案

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7．若$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$为不共线向量，$\overrightarrow{OA}$=k$\overrightarrow{{e}_{1}}$+12$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{OB}$=4$\overrightarrow{{e}_{1}}$+5$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{OC}$=-k$\overrightarrow{{e}_{1}}$-10$\overrightarrow{{e}_{2}}$，且A、B、C三点共线，求k的值．

分析（1）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$把直线l的极坐标方程化为直角坐标；伸缩变换ρ：$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=\frac{y}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x={x}^{′}}\\{y=2{y}^{′}}\end{array}\right.$，代入曲线C即可得出．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，解出，再利用两点之间的距离公式即可得出弦长．

解答解：（1）直线l的方程为ρcos（θ$+\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，展开化为：$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρcosθ-ρsinθ）$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴直角坐标方程为：x-y=1，即y=x-1，∴tanα=1，解得$α=\frac{π}{4}$．
曲线C：x²+y²=4在坐标伸缩变换ρ：$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=\frac{y}{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x={x}^{′}}\\{y=2{y}^{′}}\end{array}\right.$，作用下变为曲线C₁：（x′）²+（2y′）²=4，化为$\frac{（{x}^{′}）^{2}}{4}+（{y}^{′}）^{2}$=1．
∴直线l的倾斜角$α=\frac{π}{4}$，曲线C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化为5x²-8x=0，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{5}}\\{y=\frac{3}{5}}\end{array}\right.$．
∴直线l和曲线C₁相交．弦长=$\sqrt{（\frac{8}{5}）^{2}+（-1-\frac{3}{5}）^{2}}$=$\frac{8\sqrt{2}}{5}$．

点评本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程的方法、直线与椭圆的位置关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．