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2024届湖北省黄冈中学高三5月第二次模拟考试数学试卷答案

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11．设$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}{2{e^{x-1}}}，{x＜2}\end{array}\\ \begin{array}{l}{{{log}_3}（{x^2}-1）}，{x≥2}\end{array}\end{array}\right.$，则f{f[f（1）]}=（　　）

分析令t=tanx∈R．f（t）=$\frac{t}{1+{t}^{2}}$，当t=0时，f（0）=0；对于t分类讨论，利用基本不等式的性质即可得出．

解答解：令t=tanx∈R．
∴f（t）=$\frac{t}{1+{t}^{2}}$，
当t=0时，f（0）=0；
当t＞0时，0＜f（t）=$\frac{1}{t+\frac{1}{t}}$$≤\frac{1}{2}$，当且仅当t=1时取等号．
同理可得：t＜0时，0＞f（t）≥$-\frac{1}{2}$
综上可得：f（t）∈$[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$．
∴函数y=$\frac{tanx}{1+ta{n}^{2}x}$的值域是$[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$．

点评本题考查了基本不等式的性质、“换元法”、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．