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山东中学联盟2024年高考考前热身押题数学试卷答案

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18．在数列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，且a_n+1=（p+q）a_n-pqa_n-1（n≥2，q≠0）．
（Ⅰ）若p=2，设b_n=a_n+1-2a_n（n∈N^*），证明：{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）对任意的n∈N^*，设c_n=a_n+1-qa_n，证明：“数列{c_n}为常数列”的充要条件是“p=1”．

分析（1）利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）由a_n≥0．解得n，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．

解答解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₂=8，a₄=4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=8}\\{{a}_{1}+3d=4}\end{array}\right.$，解得a₁=10，d=-2．
∴a_n=10-2（n-1）=12-2n．
（2）由a_n=12-2n≥0．
解得n≤6，
∴当n=5或6时，
S_n取得最大值S₆=$\frac{6×（10+0）}{2}$=30．

点评本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．