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[沈阳三模]2024年沈阳市高中三年级教学质量监测(三)数学试卷答案

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17.入侵生物福寿螺的适应能力强,会对水稻等作物生产造成严重危害。稻田中经控制后的福寿螺种群密度与所需的防治成本有关,并影响水稻的价值,两者的关系如图所示。下治成本列有关叙述正确的是abc经控制后的福寿螺种群密度A.调查福寿螺种群密度通常采用标记重捕法B.曲线Ⅱ表示将福寿螺控制在不同密度时的防治成本C.将福寿螺种群密度控制在b时收益最大D.在适当时间引鸭人田可降低福寿螺的K值

分析设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MP|=a+b，由余弦定理可得|AB|²=（a+b）²-ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．

解答解：设|AF|=a，|BF|=b，
连接AF、BF，
由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，
|BF|=|BP'|
在梯形ABP'Q中，
2|MP|=|AQ|+|BP'|=a+b．
由余弦定理得，
|AB|²=a²+b²-2abcos120°
=a²+b²+ab，
配方得，|AB|²=（a+b）²-ab，
又∵ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²，
∴（a+b）²-ab≥（a+b）²-$\frac{1}{4}$（a+b）²=$\frac{3}{4}$（a+b）²
得到|AB|≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$（a+b）．
∴$\frac{|PM|}{|AB|}$≤$\frac{\frac{1}{2}（a+b）}{\frac{\sqrt{3}}{2}（a+b）}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即$\frac{|PM|}{|AB|}$的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：A．

点评本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求$\frac{|PM|}{|AB|}$的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题．