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2024届百校联盟高考模拟信息金卷(二)数学试卷答案

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12．直线y-2=$\sqrt{3}$（x+1）倾斜角是（　　）

分析（Ⅰ）可以令y=0，代入f（xy）=[f（x）]^y，即可求得f（0）的值；
（Ⅱ）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，可令x₁=$\frac{1}{3}$P₁，x₂=$\frac{1}{3}$P₂，故p₁＜p₂，再判断f（x₁）-f（x₂）的符号，从而可证其单调性；，
（Ⅲ）利用条件得到f（x²-1）＞f（0），根据f（x）是增函数代入不等式，解不等式即可．

解答解：（1）：（Ⅰ）∵对任意x∈R，有f（x）＞0，
∴令x=0，y=2得：f（0）=[f（0）]²⇒f（0）=1；
（Ⅱ）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则令x₁=$\frac{1}{3}$P₁，x₂=$\frac{1}{3}$P₂，故p₁＜p₂，
∵函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件：①对任意x∈R，有f（x）＞0；②对任意x，y∈R，有f（xy）=[f（x）]^y；③$f（\frac{1}{3}）＞1$
∴f（x₁）-f（x₂）=f（$\frac{1}{3}$P₁）-f（$\frac{1}{3}$P₂）=[f（$\frac{1}{3}$）]^P₁-[f（$\frac{1}{3}$）]^P₂＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）是R上的单调增函数．
（Ⅲ）∵f（0）=1，：[f（x-1）]^（x+1）＞1．
∴[f（x-1）]^（x+1）=f（（x-1）（x+1））＞f（0）．
∴x²-1＞0，
解得x＜-1，或x＞1，
∴不等式的解集为（-∞，-1）∪（1，+∞）．

点评本题给出抽象函数，求特殊的函数值，根据函数的单调性并依此解关于x的不等式．着重考查了函数的单调性及其应用、基本初等函数的图象与性质和抽象函数具体化的处理等知识点，属于中档题．