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山东名校考试联盟 2023-2024学年高一下学期期中检测(2024.05)数学试卷答案

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6．若f（x）是定义在R上的减函数，且对任意的a、b∈R满足：f（a+b）=f（a）+f（b）．且f（-2）=12
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）若f（k-2）＜f（2k）-6，求实数k的取值范围．

分析根据诱导公式，两角和差的余弦公式化简计算即可．

解答解：（1）∵$\frac{π}{2}$＜α＜π，0$＜β＜\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{4}$＜$\frac{α}{2}$＜$\frac{π}{2}$，0＜$\frac{β}{2}$＜$\frac{π}{4}$，
∴$\frac{π}{4}$＜α-$\frac{β}{2}$＜π，-$\frac{π}{4}$＜$\frac{α}{2}$-β＜$\frac{π}{2}$，
∵cos（α-$\frac{β}{2}$）=-$\frac{1}{9}$，sin（$\frac{α}{2}$-β）=$\frac{2}{3}$，
∴sin（α-$\frac{β}{2}$）=$\frac{4\sqrt{5}}{9}$，cos（$\frac{α}{2}$-β）=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴cos$\frac{α+β}{2}$=cos[（α-$\frac{β}{2}$）-（$\frac{α}{2}$-β）]=cos（α-$\frac{β}{2}$）cos（$\frac{α}{2}$-β）+sin（α-$\frac{β}{2}$）sin（$\frac{α}{2}$-β）=-$\frac{1}{9}$×$\frac{\sqrt{5}}{3}$+$\frac{4\sqrt{5}}{9}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{7\sqrt{5}}{27}$，
（2）$\frac{cos（π-α）cos（\frac{π}{2}+α）sin（α-\frac{3π}{2}）}{sin（3π+α）sin（α-π）cos（π+α）}$=$\frac{-cosα（-sinα）cosα}{-sinα（-sina）（-cosα）}$=-$\frac{1}{tanα}$=-$\frac{1}{2}$．

点评本题考查了诱导公式，两角和差的余弦公式，考查了学生的计算能力，属于基础题．