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2024届炎德英才大联考长沙市一中模拟试卷(一)数学试卷答案

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15．计算：sin86°cos34°-cos86°sin214°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

分析（1）数对（x，y）共有16种，利用列举法求出使$\frac{x}{y}$为整数的种数，由此能求出概率P（ξ=0）．
（2）随机变量ξ的所有取值为-1，0，1，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答解：（1）依题意，数对（x，y）共有16种，其中使$\frac{x}{y}$为整数的有以下8种：
（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（2，1），（3，1），（4，1），（4，2），
所以$P（ξ=0）=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$；
（2）随机变量ξ的所有取值为-1，0，1，
ξ=-1有以下6种：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），
故$P（ξ=-1）=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$，
ξ=1有以下2种：（3，2），（4，3），故$P（ξ=1）=\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$，
∴P（ξ=0）=1-$\frac{3}{8}-\frac{1}{8}$=$\frac{1}{2}$，
∴ξ的分布列为：
ξ-101P$\frac{3}{8}$$\frac{1}{2}$$\frac{1}{8}$ξ的数学期望为$E（ξ）=-1×\frac{3}{8}+0×\frac{1}{2}+1×\frac{1}{8}=-\frac{1}{4}$．

点评本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．