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湖南省开卷文化2024高考冲刺试卷(一)数学试卷答案

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12.X、Y、Z、W、M为原子序数依次增大的短周期主族元素(其中有两种元素为金属元素),X是形成有机物的必需元素,Y元素的单质可用作保护气,Z原子的最外层电子数是K层的一半,M元素的单质和某种氧化物可用作自来水消毒剂。下列说法正确的是A.W的氧化物常用作耐火材料B.含Z元素物质的焰色试验的火焰颜色呈紫色C.简单离子半径:M>Y>w>ZD.含氧酸的酸性:M>Y>XA

分析（1）由题意和两角和与差的三角函数公式可得sinBsinC=$\frac{3}{4}$，结合正弦定理可得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得A=60°或120°，验证排除A=120°即可；
（2）由余弦定理和已知可得b=c，再由面积公式可得bc=16，联立可得bc的值，进而可得a值，相加可得周长．

解答解：（1）∵cos（B-C）+cosA=$\frac{3}{2}$，
∴cos（B-C）-cos（B+C）=$\frac{3}{2}$，
∴cosBcosC+sinBsinC-cosBcosC+sinBsinC=$\frac{3}{2}$，
∴sinBsinC=$\frac{3}{4}$，又∵a²=bc，
∴由正弦定理可得sin²A=sinBsinC=$\frac{3}{4}$，
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，A=60°或120°，
若A=120°，则cos（B-C）+cosA=cos（B-C）-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴cos（B-C）=2，显然矛盾，故A=60°；
（2）由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc，
∵a²=bc，∴bc=b²+c²-bc，即（b-c）²=0，故b=c，
再由面积公式可得$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc=4$\sqrt{3}$，故bc=16，
∴由b=c且bc=16可得b=c=4，
∴a²=bc=16，解得a=4，
∴△ABC的周长为4+4+4=12

点评本题考查解三角形，涉及正余弦定理和三角形的面积公式，属中档题．