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2024届耀正文化名校名师信息卷(一)数学试卷答案

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1.“南海一号”是南宋初期一艘在海上丝绸之路向外运送瓷器时失事沉没的木质古沉船,沉船中发现大量陶瓷器、铜铁器、漆器、钱币、植物果核等。下列有关说法错误的是A.木质古沉船的主要成分与植物果核的主要成分均为有机高分子B.陶瓷器的烧制过程涉及化学变化C.漆器表面所涂的桐油是一种天然的植物油,防水性能差D.铜制钱币比铁制钱币的耐腐蚀性更强

分析先根据导数的几何意义写出函数f（x）在点A、B处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件列出关系式，从而得出a=lnx₂+（$\frac{1}{2{x}_{2}}$-$\frac{1}{2}$）²-1，最后利用导数研究它的单调性和最值，即可得出a的取值范围．

解答解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
当x₁＜x₂＜0，或0＜x₁＜x₂时，f′（x₁）≠f′（x₂），故x₁＜0＜x₂，
当x₁＜0时，函数f（x）在点A（x₁，f（x₁））处的切线方程为：
y-（x₁²+x₁+a）=（2x₁+1）（x-x₁）；
当x₂＞0时，函数f（x）在点B（x₂，f（x₂））处的切线方程为y-lnx₂=$\frac{1}{{x}_{2}}$（x-x₂）；
两直线重合的充要条件是$\frac{1}{{x}_{2}}$=2x₁+1①，lnx₂-1=-x₁²+a②，
由①及x₁＜0＜x₂得0＜$\frac{1}{{x}_{2}}$＜1，
由①②得a=lnx₂+（$\frac{1}{2{x}_{2}}$-$\frac{1}{2}$）²-1=-ln$\frac{1}{{x}_{2}}$+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{{x}_{2}}$-1）²-1，
令t=$\frac{1}{{x}_{2}}$，则0＜t＜1，且a=$\frac{1}{4}$（t-1）²-1-lnt，
设h（t）=$\frac{1}{4}$（t-1）²-1-lnt，（0＜t＜1），
则h′（t）=$\frac{1}{2}$（t-1）-$\frac{1}{t}$=$\frac{（t-2）（t+1）}{2t}$＜0，
∴h（t）在（0，1）为减函数，
则h（t）＞h（1）=-ln1-1，∴a＞-1，
∴若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，
a的取值范围（-1，+∞）．
故选：A．

点评本题主要考查了导数的几何意义等基础知识，考查了推理论证能力、运算能力、创新意识，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法．