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2024届河南省中考适应性检测卷数学试卷答案

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11．已知函数f（x）=cos$（\frac{π}{3}x+\frac{π}{3}）-2co{s}^{2}\frac{π}{6}x$
（1）求函数f（x）的周期T；
（2）求f（x）的单调递增区间．

分析（1）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可把曲线C₁的极坐标方程化为直角坐标方程，由于曲线C₁关于曲线C₂对称，可得圆心在C₂上，即可解出．
（2）由已知可得|OA|=2$\sqrt{2}$sin（φ+$\frac{π}{4}$），|OB|=2$\sqrt{2}$sin（φ+$\frac{π}{2}$），|OC|=2$\sqrt{2}$sinφ，|OD|=2$\sqrt{2}$sin（φ+$\frac{3π}{4}$），化简整理即可得出．

解答解：（1）曲线C₁的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），展开为${ρ}^{2}=2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρsinθ+ρcosθ），可得直角坐标方程：x²+y²=2x+2y，化为（x-1）²+（y-1）²=2，
∵曲线C₁关于曲线C₂对称，∴圆心（1，1）在C₂上，∴$\left\{\begin{array}{l}{1=-1+tcosα}\\{1=3+tsinα}\end{array}\right.$，化为tanα=-1，解得α=$\frac{3π}{4}$．
∴C₂：为y-3=-1（x+1），化为x+y-2=0．
（2）|OA|=2$\sqrt{2}$sin（φ+$\frac{π}{4}$），|OB|=2$\sqrt{2}$sin（φ+$\frac{π}{2}$），|OC|=2$\sqrt{2}$sinφ，|OD|=2$\sqrt{2}$sin（φ+$\frac{3π}{4}$），
∴|OA|•|OC|+|OB|•|OD|=8sinφsin（φ+$\frac{π}{4}$）+8cosφsin（φ+$\frac{3π}{4}$）=8sinφsin（φ+$\frac{π}{4}$）+8cosφcos（φ+$\frac{π}{4}$）=8cos$\frac{π}{4}$=4$\sqrt{2}$．

点评本题考查了极坐标化为直角坐标方程的方法、三角函数化简求值、直线的参数方程应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．