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衡水金卷先享题2022-2023学年度上学期高三期末考试数学试卷答案

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12.下列有关遗传物质探索历程及相关实验的叙述,正确的是A.蛋白质在细胞核中含量稳定是最初人们认为蛋白质是遗传物质的主要原因B.用3?P、^35S分别标记噬菌体的核酸和蛋白质,均能在部分子代噬菌体中检测到放射性C.格里菲思、艾弗里、赫尔希和蔡斯的实验思路都是把DNA和蛋白质分开单独观察其作用D.格里菲思、艾弗里、赫尔希和蔡斯的实验均不能证明DNA是主要的遗传物质

分析（1）运用椭圆的定义和范围，可得a+c=2+$\sqrt{2}$，bc=1，a²-b²=c²，解方程可得a，b，即可得到椭圆方程；
（2）由两直线垂直的条件可设直线MN的方程为y=-$\frac{1}{λ}$x+t，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，再由中点坐标公式，可得MN的中点，代入垂直平分线方程可得t=-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{λ}^{2}}$，再由点到直线的距离公式，可得O到直线MN的距离，运用三角形的面积公式，化简整理，可得△OMN的最大值．

解答解：（1）△MF₁F₂的周长是2$\sqrt{2}$+2，
即为|MF₁|+|MF₂|+|F₁F₂|=2a+2c=2$\sqrt{2}$+2，
由△MF₁F₂面积为$\frac{1}{2}$|y_M|•2c=c|y_M|≤bc，
即有bc=1，a²-b²=c²，
解得a=$\sqrt{2}$，b=1，
则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）线段MN的垂直平分线的方程是2λx-2y+1=0，
即有直线MN的方程为y=-$\frac{1}{λ}$x+t，
代入椭圆方程可得，（2+λ²）y²-2λ²ty+λ²t²-2=0，
△=4λ⁴t²-4（2+λ²）（λ²t²-2）＞0，
y₁+y₂=$\frac{2{λ}^{2}t}{2+{λ}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{{λ}^{2}{t}^{2}-2}{2+{λ}^{2}}$，
MN中点为（$\frac{2tλ}{2+{λ}^{2}}$，$\frac{{λ}^{2}t}{2+{λ}^{2}}$），
代入MN的垂直平分线可得，t=-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{λ}^{2}}$，
即有y₁+y₂=-1，y₁y₂=$\frac{{λ}^{2}{t}^{2}-2}{2+{λ}^{2}}$=$\frac{（2-{λ}^{2}）^{2}}{4{λ}^{2}（2+{λ}^{2}）}$，
即有|MN|=$\sqrt{1+{λ}^{2}}$|y₁-y₂|=$\sqrt{1+{λ}^{2}}$•$\sqrt{1-4•\frac{（2-{λ}^{2}）^{2}}{4{λ}^{2}（2+{λ}^{2}）}}$
=$\sqrt{1+{λ}^{2}}$•$\sqrt{\frac{6{λ}^{2}-4}{{λ}^{2}（2+{λ}^{2}）}}$，
又O到直线MN的距离为d=$\frac{|λt|}{\sqrt{1+{λ}^{2}}}$=$\frac{2+{λ}^{2}}{2|λ|\sqrt{1+{λ}^{2}}}$，
则△0MN面积为S=$\frac{1}{2}$d•|MN|=$\frac{1}{4}$•$\sqrt{\frac{（6{λ}^{2}-4）（2+{λ}^{2}）}{{λ}^{4}}}$
=$\frac{1}{4}$•$\sqrt{6-\frac{8}{{λ}^{4}}+\frac{8}{{λ}^{2}}}$=$\frac{1}{4}$•$\sqrt{8-8（\frac{1}{{λ}^{2}}-\frac{1}{2}）^{2}}$，
当λ=±$\sqrt{2}$，△OMN的面积取得最大值$\frac{\sqrt{2}}{2}$，满足判别式大于0．
故△OMN的面积取得最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算求解能力，属于中档题．