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2024届辽宁省十校高三下学期联考数学试卷答案

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15．已知x∈（0，+∞），观察下列各式：
x+$\frac{1}{x}$≥2，
x+$\frac{4}{x^2}=\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+\frac{4}{x^2}$≥3，
x+$\frac{27}{x^3}=\frac{x}{3}+\frac{x}{3}+\frac{x}{3}+\frac{27}{x^3}$≥4，
…
类比得：x+$\frac{a}{x^n}≥n+1（n∈{N^*}）$，则a=nⁿ．

分析根据正弦函数的图象和性质，结合给定函数解析式中振幅，频率，可得答案．

解答解：∵sin$\frac{x}{2}$∈[-1，1]，
∴y=2sin$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$∈[-2+$\frac{π}{3}$，2+$\frac{π}{3}$]，
∴函数y=2sin$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$的值域为[-2+$\frac{π}{3}$，2+$\frac{π}{3}$]，
当y取最大值时，$\frac{x}{2}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，即x=π+4kπ，k∈Z，
当y取最小值时，x=-$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，即x=-π+4kπ，k∈Z，
由ω=$\frac{1}{2}$，可得T=$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π，
由$\frac{x}{2}$∈[-$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{π}{2}$+2kπ]，k∈Z得：x∈[-π+4kπ，π+4kπ]，k∈Z，
故函数的单调递增区间为[-π+4kπ，π+4kπ]，k∈Z，
由$\frac{x}{2}$∈[$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{3π}{2}$+2kπ]，k∈Z得：x∈[π+4kπ，3π+4kπ]，k∈Z，
故函数的单调递减区间为[π+4kπ，3π+4kπ]，k∈Z，
故答案为：[-2+$\frac{π}{3}$，2+$\frac{π}{3}$]；x=π+4kπ，k∈Z；x=-π+4kπ，k∈Z；4π；[-π+4kπ，π+4kπ]，k∈Z；[π+4kπ，3π+4kπ]，k∈Z．

点评本题考查的知识点是正弦函数的图象，熟练掌握函数的最值，振幅的关系及正弦函数的单调性是解答的关键．