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真题密卷冲顶实战演练 2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题(一)数学试卷答案

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15.(18分)如图所示,真空中一对半径均为R=20cm的圆形金属板A、B,四心正对平行放置,A、B板分别与电压可调的恒压电源正极、负极相连。A板内侧圆点能向A板右侧各个方向均匀喷出带负电的微粒,微粒的速率均为v0=5.0m/s,量均为m=1.010^-11kg、、电量均为q=1.010^-11C,A、B板正对部分的电场可看成匀强电场,微粒重力和微粒间的相互作用力不计。(1)若刚好所有带电微粒都不能达到B板,求A、B板间电压UMB;(2)若将A、B板分别与电源负极、正极连接,调节电源电压为UBA=200V,,使从O点发射出的带电微粒都落在B板上半径为r的圆形区域内,求r与两板间距d的函数关系式;(3)调节电源电压,当UBA=1250V时,从点发射出的带电微粒刚好能全部落在B板上,求微粒从O点运动到B板所用时间的范围,(且2=1.41,结果保留2位有效数字)

分析所证明的不等式的左侧是n-1项，因此是对数表达式，联想对数运算法则：ln$\frac{M}{N}$=lnM-lnN，引入辅助函数f（x）=$\frac{1-x}{x}$+lnx，由导数证明其在[1，+∞）上为增函数，得到f（ $\frac{n}{n-1}$）＞0，即：$\frac{1}{n}$＜ln$\frac{n}{n-1}$，则数列不等式得证．

解答证明：令f（x）=$\frac{1-x}{x}$+lnx，则f′（x）=$\frac{-x-1+x}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，
当x≥1时，f′（x）≥0，∴f（x）在[1，+∞）上为增函数，
∴n≥2时：f（$\frac{n}{n-1}$）=$\frac{1-\frac{n}{n-1}}{\frac{n}{n-1}}$+ln$\frac{n}{n-1}$=ln$\frac{n}{n-1}$-$\frac{1}{n}$＞f（1）=0，
即：$\frac{1}{n}$＜ln$\frac{n}{n-1}$，
∴$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$＜lnn．

点评本题考查了数列的求和，考查了利用构造函数法证明数列不等式，关键是构造出增函数f（x）=$\frac{1-x}{x}$+lnx，是难题．