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河北省邢台市2023-2024学年度第二学期期中学业质量检测八年级数学试卷答案

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13．班上有四位同学申请A，B，C三所大学的自主招生，若每位同学只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．
（1）求恰有2人申请A大学或B大学的概率；
（2）求申请C大学的人数X的分布列与数学期望E（X）．

分析（1）先将cos（x+$\frac{π}{6}$）展开，然后借助于辅助角公式化简，求解函数的周期；
（2）根据x的范围求出2x+$\frac{π}{6}$的范围，结合三角函数的图象与性质求出最值．

解答解：（1）f（x）=4sinxcosxcos$\frac{π}{6}$-4sin²xsin$\frac{π}{6}$+1
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
∴f（x）的最小正周期是$\frac{2π}{2}$=π．
（2）∵x∈[-$\frac{π}{4}，\frac{π}{3}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴当2x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{3}$时，f（x）取得最小值-$\sqrt{3}$，
当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最大值2．

点评本题综合考查三角公式，三角恒等变换等知识，属于中档题．