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2024届龙东十校高三4月联考数学试卷答案

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5.如图所示,光滑的水平面上放一半径为R的四分之一光滑圆弧,与竖直墙之间恰好放人一压力传感器(此时传感器示数为零),质量为m的小球(可视为质点)在圆弧的最高点(与圆心等高)由静止开始下滑,在小球下滑过程中,压力传感器的示数最大值为

分析（1）利用三角函数恒等变换的应用化简cos（A-C）+cosB=1可得sinAsinC=$\frac{1}{2}$，利用正弦定理化简2bsinB=asinC．可得2sin²B=sinAsinC=$\frac{1}{2}$，结合B的范围，即可求sinB的值．
（2）由正弦定理化简已知可得：2b²=ac，利用同角三角函数基本关系式可求sinB，利用三角形面积公式可求ac，b，由余弦定理及平方和公式可解得a+c，即可得解．

解答解：（1）∵cos（A-C）+cosB=1，
⇒cos（A-C）-cos（A+C）=1，
⇒2sinAsinC=1，
⇒sinAsinC=$\frac{1}{2}$，
∵2bsinB=asinC．
∴由正弦定理可得：2sin²B=sinAsinC=$\frac{1}{2}$，
∴由B∈（0，π），解得：sinB=$\frac{1}{2}$．
（2）∵2bsinB=asinC．
∴由正弦定理可得：2b²=ac，
∵cosB=$\frac{3}{4}$，可得sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴△ABC的面积为：$\frac{\sqrt{7}}{2}$=$\frac{1}{2}$acsinB=ac×$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{7}}{4}$，解得：ac=4，b=$\sqrt{\frac{ac}{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴由余弦定理可得：2=a²+c²-$\frac{3ac}{2}$=（a+c）²-2ac-$\frac{3ac}{2}$=（a+c）²-14，解得a+c=4，
∴△ABC的周长=a+c+b=4+$\sqrt{2}$．

点评本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数基本关系式及平方和公式的应用，考查了计算能力，属于中档题．